波动方程的行波解

我们曾经讨论过波动方程 $\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=0$ 的通解，这里，把它改写成
$u (x, t) = f (x - a t) + g (x + a t)$
其中 $f$ 和 $g$ 是任意二阶可微函数。这个解式表明，波动方程的通解由两个波组成： $f (x - a t)$ 代表沿 $x$ 轴向右传播的波，当 $t = 0$ 时，波形为 $f (x)$ ，而后以恒定速率 $a$ 向右传播，而保持波形不变； $g (x + a t)$ 则代表沿 $x$ 轴向左传播的波，当 $t = 0$ 时，波形为 $g (x)$ ，而后也以同样的恒定速率 $a$ 向左传播，保持波形不变。单独的 $f (x - a t)$ 和 $g (x + a t)$ 都是波动方程的解。它们独立传播，互不干扰，这正是因为波动方程是线性齐次方程，其解具有叠加性。

原则上说，函数 $f$ 和 $g$ 应该由定解条件确定，但如果把问题简化为一维无界弦上的波的传播问题，那么 $f$ 和 $g$ 便完全由初始条件决定。
$\left\{\begin{array}{lll} u_{u}=a^{2} u_{x x} & (-\infty<x<+\infty, t>0) \\ u(x, 0)=\varphi(x) & (-\infty<x<+\infty) \\ u_{t}(x, 0)=\psi(x) & (-\infty<x<+\infty) \end{array}\right.$
其中 $\varphi(x), \psi(x)$ 为已知函数，“无限长”杆的自由振动，或电阻为零的 “无限长”传输线上电流、电压的变化，都可以提出相同的定解问题。我们已经得到了波动方程的通解 $u (x, t) = f (x - a t) + g (x + a t)$ ，接下来则需将初始条件带入求出函数 $\varphi(x)$ 与 $\psi(x)$ 。
$\begin{gathered} f(x)+g(x)=\phi(x) \\ a\left[f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)\right]=-\psi(x) \end{gathered}$
将 $a\left[f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)\right]=-\psi(x)$ 积分，可以得到
$f(x)-g(x)=-\frac{1}{a} \int_{0}^{x} \psi(\xi) \mathrm{d} \xi+C$
其中 $C$ 是积分常数。将这个结果和 $f(x)+g(x)=\phi(x)$ 联立，即可求得
$f(x)=\frac{1}{2} \phi(x)-\frac{1}{2 a} \int_{0}^{x} \psi(\xi) \mathrm{d} \xi+\frac{C}{2}, \quad g(x)=\frac{1}{2} \phi(x)+\frac{1}{2 a} \int_{0}^{x} \psi(\xi) \mathrm{d} \xi-\frac{C}{2} .$
因此波动方程的解为
$\begin{aligned} u(x, t) &=f(x-a t)+g(x+a t) \\ &=\frac{1}{2}[\phi(x-a t)+\phi(x+a t)]+\frac{1}{2 a} \int_{x-a t}^{x+a t} \psi(\xi) \mathrm{d} \xi \end{aligned}$
这样，就求得了一维无界区间上波动方程定解问题的解。它称为一维波动方程定解问题的行波解，或达朗贝尔(d’Alembert) 解。这个解具有清楚的物理意义: 第一项表示由初位移 $\left.u(x, t)\right|_{t=0}=\phi(x)$ 激发的行波， $t > 0$ 以后分成相等的两部分，独立地向左、右传播，速率为 $a$ ；第二项表示由速度 $\partial u /\left.\partial t\right|_{t=0}=\psi(x)$ 激发的行波[干涉项]，在 $t > 0$ 时刻，它左右对称地扩展到 $[x - a t, x + a t]$ 的范围，所以传播速率也是 $a$ 。