分离变量法

分离变量法核心思路
分离变量法求解步骤
强迫振动方程
非齐次边界条件

分离变量法核心思路

分离变量法的核心思路是，将PDE(偏微分方程)变为多个ODE(常微分方程)，那么我们如何进行呢？

PDE和ODE的一个显著不同是：PDE的自变量一定有两个以上，而ODE的自变量只有一个，那么我们能否将多个自变量拆分使求解PDE变为求解ODE呢？如果满足PDE的自变量 $u (x, t)$ 是某种特别的形式，例如
$u (x, t) = X (x) T (t),$
可以多个一元函数相乘得到，那么每个一元函数 $X (x)$ 和 $T (t)$ 满足的方程应该都是ODE，只要能求出 $X (x)$ 和 $T (t)$ ，就可能求出 $u (x, t)$ 。这样我们就把求解PDE问题转变为求解ODE问题，这就是分离变量法的思路。

ODE求解思路：先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，再用定解条件去确定叠加系数。

在力学中，驻波的表达式为
$\cos \frac{2 \pi x}{\lambda} \cos 2 \pi \gamma t$
这使我们自然想到，对于定解问题可设其特解为
$u (x, t) = X (x) T (t)$
其中 $X (x)$ 和 $T (t)$ 分别只是变数 $x$ 和 $t$ 的函数。为了弄清楚定解问题究竟有什么样的驻波解，应将 $u (x, t) = X (x) T (t)$ 式分别代人方程和定解条件中。

考虑长为 $l$ 、两端固定的弦的自由振动, 方程及定解条件为
$\begin{array}{ll} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=0, & 0<x<l, t>0, \\ \left.u\right|_{x=0}=0, & \left.u\right|_{x=l}=0, & t \geqslant 0, \\ \left.u\right|_{t=0}=\phi(x), & \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}=\psi(x), & 0 \leqslant x \leqslant l . \end{array}$

分离变量法求解步骤

求解分为四步：分离变量、求解本征值、求特解并叠加出一般解、利用本征函数的正交性叠加系数。

详细求解过程每本数理方法课本上都有详细介绍，证明篇幅也较长，故笔者只对其进行简要说明。

分离变量：我们希望求得的特解具有分离变量的形式，则 $u (x, t) = X (x) T (t)$ ，带回波动方程则有 $T^{\prime \prime}(t)=a^{2} X^{\prime \prime}(x) T(t)$ ，在波动方程中，左端和右端相等，就必须共同等于一个既与 $x$ 无关、又与 $t$ 无关的常数 $-\lambda$ ， $\frac{1}{a^{2}} \frac{T^{\prime \prime}(t)}{T(t)}=\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}=-\lambda$ ，上面的结果又可以写成
$\begin{aligned} &T^{\prime \prime}(t)+\lambda a^{2} T(t)=0, \\ &X^{\prime \prime}(x)+\lambda X(x)=0 . \end{aligned}$
这样我们就得到了两个常微分方程，同时引入了一个待定常数 $\lambda$ 。

求解本征值：

分离变量的结果是得到了多个含有待定常数的齐次ODE和齐次边界条件，它们一同构成常微分方程的本征值问题。当待定参数 $\lambda$ 取某些特定值时，可以有同时满足ODE $X^{\prime \prime}(x)+\lambda X(x)=0$ 与齐次边界条件 $\left.u\right|_{x=0}=0, \left.u\right|_{x=l}=0$ 的非零解 $X (x)$ ， $\lambda$ 的这些特定值称为本征值，相应的非零解 $X (x)$ 称为本征函数。

详细过程略去

最终我们求得了所有的本征值 $\lambda_{n}$ 以及相应的本征函数 $X_{n}(x)$ ，有无穷多组，可以用脚标 $n$ 进行标记。

求特值并叠加出一般解：

在求解本征值问题后, 将本征值 $\lambda_{n}$ 代入方程 $T^{\prime \prime}(t)+\lambda a^{2} T(t)=0$ ，求出相应的 $T_{n}(t)$ ， $T_{n}(t)=C_{n}^{\prime} \cos \frac{n \pi}{l} a t+D_{n}^{\prime} \sin \frac{n \pi}{l} a t$ 。

因此，就得到了同时满足偏微分方程和边界条件的特解
$u_{n}(x, t)=\left(C_{n} \cos \frac{n \pi}{l} a t+D_{n} \sin \frac{n \pi}{l} a t\right) \sin \frac{n \pi}{l} x, \quad n=1,2,3, \cdots .$
这样的特解有无穷多个，每个特解都满足齐次偏微分方程和齐次边界条件，但单独一个特解不足以满足给定的初始条件，我们需要将全部特解叠加起来，得到
$t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(C_{n} \cos \frac{n \pi}{l} a t+D_{n} \sin \frac{n \pi}{l} a t\right) \sin \frac{n \pi}{l} x,$
只要级数收敛且可以逐项求二阶偏微商，那么，这样的解 $u (x, t)$ 称为 (满足齐次偏微分方程和齐次边界条件的) 一般解/傅里叶解。

那么现在遗留的问题就是，如何适当选择叠加系数 $C_{n}$ 和 $D_{n}$ ，使一般解满足初始条件 $\phi(x)$ 和 $\psi(x)$ 。
$\begin{aligned} &\sum_{n=1}^{\infty} C_{n} \sin \frac{n \pi}{l} x=\phi(x), \\ &\sum_{n=1}^{\infty} D_{n} \frac{n \pi a}{l} \sin \frac{n \pi}{l} x=\psi(x) . \end{aligned}$
利用本征函数的正交性定叠加系数
这里求得的本征函数具有一个重要特性，即本征函数的正交性：对应不同本征值的本征函数正交，
$\int_{0}^{l} X_{n}(x) X_{m}(x) \mathrm{d} x=0 . \quad n \neq m,$
现在，在 $\sum_{n=1}^{\infty} C_{n} \sin \frac{n \pi}{l} x=\phi(x)$ 两端同乘以 $\sin \frac{m \pi}{l} x$ ，并逐项积分，根据本征函数的正交性，就得到
$\begin{aligned} \int_{0}^{l} \phi(x) \sin \frac{m \pi}{l} x \mathrm{~d} x &=\int_{0}^{l} \sum_{n=1}^{\infty} C_{n} \sin \frac{n \pi}{l} x \sin \frac{m \pi}{l} x \mathrm{~d} x \\ &=\sum_{n=1}^{\infty} C_{n} \int_{0}^{l} \sin \frac{n \pi}{l} x \sin \frac{m \pi}{l} x \mathrm{~d} x=C_{m} \int_{0}^{l} \sin ^{2} \frac{m \pi}{l} x \mathrm{~d} x . \end{aligned}$
因此就得到叠加系数
$C_{n}=\frac{2}{l} \int_{0}^{l} \phi(x) \sin \frac{n \pi}{l} x \mathrm{~d} x \\ D_{n}=\frac{2}{n \pi a} \int_{0}^{l} \psi(x) \sin \frac{n \pi}{l} x \mathrm{~d} x .$
这样，根据已知函数 $\phi(x)$ 和 $\psi(x)$ 计算出积分，就求得了整个定解问题的解。

若边界条件发生变化， $X_n(x)、\lambda_n$ 未知，则可以推出更普适的公式：

$T_{n}(t)=C_{n}^{\prime} \cos \sqrt{\lambda_n} a t+D_{n}^{\prime} \sin \sqrt{\lambda_n} a t$

$t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(C_{n} \cos \sqrt{\lambda_n} a t+D_{n} \sin \sqrt{\lambda_n} a t\right) X_n(x)$

$\phi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} C_{n} X_n(x)$
$\psi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} D_{n} a\sqrt{\lambda_n} X_n(x).$
积分后得 $C_{n}=\frac{2}{l} \int_{0}^{l} \phi(x) X_n(x) \mathrm{~d} x \\ D_{n}=\frac{1}{a\sqrt{\lambda_n}}\frac{2}{l} \int_{0}^{l} \psi(x) X_n(x) \mathrm{~d} x .$

傅里叶解的物理意义

下面我们对傅里叶解的物理意义进行一些分析，为此，先把级数中的每一项写成
$u_{n}(x, t)=\left(C_{n} \sin \frac{n \pi}{l} a t+D_{n} \cos \frac{n \pi}{l} a t\right) \sin \frac{n \pi}{l} x=N_{n} \sin \frac{n \pi x}{l}\sin \left(\omega_{n} t+\delta_{n}\right)$
其中 $N_{n}=\sqrt{C_{n}^{2}+D_{n}^{2}}, \delta_{n}=\tan ^{-1} \frac{C_{n}}{D_{n}}, \omega_{n}=\frac{n \pi a}{l}$ 。
我们知道，形如 $N_{n} \sin \left(\omega_{n} t+\delta_{n}\right)$ 的函数表示一种简谐振动，它的圆频率为 $\omega_{n}$ ，初相位为 $\delta_{n}$ 。因此 $u_{n}(x, t)$ 代表这样的振动波：在所考察的弦上各点以同一圆频率作简谐振动，其振幅 $\left|N_{n} \sin \frac{n \pi x}{l}\right|$ 依赖于点 $x$ 的位置。
在 $\frac{l}{n}, \frac{2 l}{n}, \cdots, \frac{(n-1) l}{n}, l$ 这些点上，振幅 $\left|N_{n} \sin \frac{n \pi x}{l}\right|=0$ ，这些点称为振动波 $u_{n}$ 的节点，或称波节。在 $x=\frac{l}{2 n}, \frac{3 l}{2 n}, \frac{5 l}{2 n}, \cdots, \frac{(2 n-1) l}{2 n}$ 这些点上，振幅 $\left|N_{n} \sin \frac{n \pi x}{l}\right|=N_{n}$ ，达到最大值, 这些点称为振动波 $u_{n}$ 的腹点或称波腹弦的振动情形。弦的振动好像是有不连续的几段构成的，每段的端点都固定不懂，我们把这种包含结点的振动称为驻波。于是我们也可以说解 $u (x, t)$ 是由一系列频率不同(成倍增长)、相位不同、振幅不同的驻波叠加而成的。所以分离变量法又称为驻波法，各驻波振幅的大小和相位的差异，由初始条件决定。

而圆频率 $\omega_{n}\left(=\frac{n \pi a}{l}\right)$ 与初始条件无关，所以也称为弦的固有频率。 $\left\{\omega_{n}\right\}$ 中最小的一个 $\omega_{1}=\frac{\pi a}{l}$ 称为基频，相应的 $u_{1}(x, t)=$ $N_{1} \sin \frac{\pi x}{l} \sin \left(\frac{\pi a}{l} t+\delta_{1}\right)$ 称为基波， $\omega_{2}, \omega_{3}, \omega_{4}, \cdots$ 称为谐频，相应的 $u_{2}, u_{3}, u_{4}, \cdots$ 称为谐波。基波的作用往往最显著。

声音的大小由振动的幅度来决定，音调的高低则取决于振动频率，弦发出的最低音由最低频率 $\omega_1$ 来确定，叫做弦的基音。其余对应于 $\omega_{2}, \omega_{3}, \omega_{4}, \cdots$ 的音叫做泛音。

接下来对使用分离变量法时遇到的一些问题进行分析。

强迫振动方程

以波动方程为例，强迫振动下的定解方程
$\begin{array}{lll} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=f(x), & 0<x<l, t>0, \\ \left.u\right|_{x=0}=0, & \left.u\right|_{x=l}=0, & t \geqslant 0, \\ \left.u\right|_{t=0}=0, & \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}=0, & 0 \leqslant x \leqslant l, \end{array}$
其中 $f (x)$ 为已知函数。

方法一：.边界条件保持齐次，而将方程齐次化

由于方程的非齐次项只是 $x$ 的函数，不妨把齐次化函数也取为只是 $x$ 的函数，即设
$u (x, t) = v (x) + w (x, t),$
其中 $v (x)$ 可以由常微分方程的边值问题
$\begin{aligned} &v^{\prime \prime}(x)=-\frac{1}{a^{2}} f(x), \\ &v(0)=0, \quad v(l)=0 \end{aligned}$
求出，而 $w (x, t)$ 则满足齐次方程、齐次边条件型的定解问题可以由之前介绍的方程求出
$\begin{array}{lll} \frac{\partial^{2} w}{\partial t^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}=0, & 0<x<l, t>0, \\ \left.w\right|_{x=0}=0, & \left.w\right|_{x=l}=0, & t \geqslant 0, \\ \left.w\right|_{t=0}=-v(x), & \left.\frac{\partial w}{\partial t}\right|_{t=0}=0, & 0 \leqslant x \leqslant l, \end{array}$
方法二：按相应齐次问题本征函数展开

如果方程非齐次项 $f (x, t)$ 的形式比较复杂，难以求得非齐次方程的特解，就可以采用按相应齐次问题本征函数展开的解法。其中心思想是寻找一组本征函数 $\left\{X_{n}(x), n=1,2,3, \cdots\right\}$ ，则可将所要求的解 $u (x, t)$ 及方程的非齐次项 $f (x, t)$ 均按这组本征函数展开：
$\begin{aligned} u(x, t) &=\sum_{n=1}^{\infty} T_{n}(t) X_{n}(x), \\ f(x, t) &=\sum_{n=1}^{\infty} g_{n}(t) X_{n}(x), \end{aligned}$
然后再求出 $T_{n}(t)$ 即可。

则将 $u (x, t)$ 和 $f (x, t)$ 的展开式带入波动方程得
$\sum_{n=1}^{\infty} T_{n}^{\prime \prime}(t) X_{n}(x)-a^{2} \sum_{n=1}^{\infty} T_{n}(t) X_{n}^{\prime \prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} g_{n}(t) X_{n}(x) .$
利用 $X_{n}(x)$ 所满足的常微分方程，又可以化成
$\sum_{n=1}^{\infty} T_{n}^{\prime \prime}(t) X_{n}(x)+a^{2} \sum_{n=1}^{\infty} \lambda_{n} T_{n}(t) X_{n}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} g_{n}(t) X_{n}(x) .$
再根据本征函数的正交性，就得到 $T_{n}(t)$ 所满足的常微分方程
$T_{n}^{\prime \prime}(t)+\lambda_{n} a^{2} T_{n}(t)=g_{n}(t) .$
又由初始条件可知 $T_{n}(0)=0, \quad T_{n}^{\prime}(0)=0$ ；用解非齐次常微分方程的常数变易法，或者用 Laplace 变换，就可以最后求出非齐次方程在初始条件下的解
$T_{n}(t)=\frac{l}{n \pi a} \int_{0}^{t} g_{n}(\tau) \sin \frac{n \pi}{l} a(t-\tau) \mathrm{d} \tau$

非齐次边界条件

要使用分离变量法求解PDE，则我们首先必须要求边界条件齐次，只有这样才能分离变量，满足齐次方程和齐次边界条件的特解叠加起来才仍能满足齐次方程和齐次边界条件，但最根本的原因涉及本征函数的完备性。

为了便于处理，首先假定方程和初始条件都是齐次的，
$\begin{array}{ll} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=0, & 0<x<l, t>0, \\ \left.u\right|_{x=0}=\mu(t), & \left.u\right|_{x=l}=\nu(t), & t \geqslant 0, \\ \left.u\right|_{t=0}=0, & \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}=0, & 0 \leqslant x \leqslant l . \end{array}$
这时为了应用分离变量法，只有先将非齐次边界条件齐次化，即令
$u (x, t) = v (x, t) + w (x, t),$
适当选择 $v (x, t)$ ，使之满足和未知函数 $u (x, t)$ 的非齐次边条件 $\left.u\right|_{x=0}=\mu(t), \left.u\right|_{x=l}=\nu(t)$ 相同的非齐次边条件
$\left.v(x, t)\right|_{x=0}=\mu(t),\left.\quad v(x, t)\right|_{x=l}=\nu(t) .$
这样， $w (x, t)$ 便可以满足齐次边界条件
$\left.w(x, t)\right|_{x=0}=0,\left.\quad w(x, t)\right|_{x=l}=0 .$
一般说来， $w (x, t)$ 所满足的方程和初始条件都将是非齐次的，
$\begin{aligned} &\frac{\partial^{2} w}{\partial t^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}=-\left(\frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}\right) \\ &\left.w\right|_{t=0}=-\left.v\right|_{t=0},\left.\quad \frac{\partial w}{\partial t}\right|_{t=0}=-\left.\frac{\partial v}{\partial t}\right|_{t=0} \end{aligned}$
接下来利用强迫振动的波动方程求解 $w (x, t)$ ，再带回 $u (x, t) = v (x, t) + w (x, t)$ ，则得到定解问题的解。