正交曲线坐标系中的分离变量

正交曲线坐标系中的分离变量

这一节介绍了柱坐标系及球坐标系下亥姆霍兹方程如何进行分离变量，通过变量的分离，我们顺理成章地引入了勒让德函数、贝塞尔函数、球谐函数等数理方程常用函数。读者可以先行浏览一遍了解方程推导过程，待特殊函数掌握之后再来仔细回忆回味。

柱坐标系下的亥姆霍兹方程

柱坐标系下$\{\begin{array}{l}{\nabla }^{2}u+\lambda u=0\\ u=R(\rho )\Phi (\phi )Z(z)\end{array}$

在数学物理方程相关介绍中我们讨论过，亥姆霍兹方程中的常数$\lambda$与时间有关。

带入柱坐标系中${\nabla }^{2}u$的表达式则有
$$\frac{1}{\rho R}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\rho }\left(\rho \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}\rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\left(\frac{1}{\Phi }\frac{{\mathrm{d}}^2\Phi }{\mathrm{d}{\phi }^2}\right)+\lambda =-\frac{1}{Z}\frac{{\mathrm{d}}^{2}Z}{\mathrm{d}{z}^2}=\mu$$
由于自然边界条件限制，$\frac{1}{\Phi }\frac{{\mathrm{d}}^2\Phi }{\mathrm{d}{\phi }^2}$ 只能取 $-n^2$ ( $n$ 为正整数)，令 $\lambda -\mu =k^2$，则${\rho }^2{R}^{\prime \prime }+\rho R^{\prime }+\left(k^2{\rho }^2-n^2\right)R=0$

综上所述，通过在柱坐标中分离变量，解偏微分方程 ${\nabla }^{2}u+\lambda u=0$ 的问题，就化为了解三个常微分方程
$$\{\begin{array}{l}{Z}^{\prime \prime }+\mu Z=0\\ {\Phi }^{\prime \prime }+n^2\Phi =0\\ {\rho }^2{R}^{\prime \prime }+\rho R^{\prime }+\left(k^2{\rho }^2-n^2\right)R=0径向方程\end{array}$$
的问题，其中 $\mu 、n^2、k^2$ 都是在分离变量过程中所引人的常数，与弦的振动问题一样，它们不能任意取值，而要根据边界条件取某些特定的值，它们称为上述方程的本征值。
方程 $Z^{\prime \prime }+\mu Z=0$ 和 ${\Phi }^{\prime \prime }+n^2\Phi =0$ 是常系数常微分方程，其解易于得到。方程 ${\rho }^2{R}^{\prime \prime }+\rho R^{\prime }+\left(k^2{\rho }^2-n^2\right)R=0$ 是变系数常微分方程，若作变换 $x=k\rho ,y(x)=R(\rho )$，则可化为
$$x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }+\left(k^2-n^2\right)y=0$$
称之为 $n$ 阶贝塞尔 (Bessel) 方程，Bessel 方程的解为$y_n(x)=c_n{J}_n(x)+d_n{N}_n(x)$。它的求解和解的性质将在特殊函数中讨论。

本征值$k^2=\lambda -\mu$，$\lambda$是与时间有关的系数，$\lambda =0$表示方程与时间无关，代表稳定场；$\mu$与$z$轴有关，$\mu =0$表示方程是二维问题或具有$z$方向平移不变性。若在二维稳定场内，或$\lambda -\mu =k^2$恰好为0，则径向方程变为欧拉方程$x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }-n^{2}y=0$；若$k^2>0$，则方程为Bessel 方程；若$k^2<0$，则方程为虚宗量Bessel 方程。

当$k=0$时，径向方程变为欧拉方程，求解欧拉方程$x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }-n^{2}y=0$。

欧拉方程一般形式 $x^2{y}^{\prime \prime }(x)+bx{y}^{\prime }(x)+cy(x)=0$

令$t=lnx$，$y(x)=t(t)$，则带入欧拉方程得$y^{\prime \prime }(t)+(b-1)y^{\prime }(t)+cy(t)=0$，可知其特征方程为${\Lambda }^2+(b-1)\Lambda +c=0$，可以得到特征根${\Lambda }_1$，${\Lambda }_2$，则$y(t)=c_1{e}^{{\Lambda }_{1}t}+c_2{e}^{{\Lambda }_{2}t}=c_1{e}^{{\Lambda }_1\ln x}+c_2{e}^{{\Lambda }_2\ln x}=c_1{x}^{{\Lambda }_1}+c_2{x}^{{\Lambda }_2}$

球坐标系下的亥姆霍兹方程

球坐标下$\{\begin{array}{l}({\nabla }^2+\lambda )u=0\\ u(r,\theta ,\phi )=R(r)Y(\theta ,\phi )\end{array}$

带入球坐标系中${\nabla }^{2}u$的表达式并整理后得
$$\frac{1}{R}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r^2\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}r}\right)+k^2{r}^2=-\frac{1}{y}\left[\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin \theta \frac{\partial y}{\partial \theta }\right)+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}y}{\partial {\phi }^2}\right]=l(l+1)$$
其中 $k^2=\lambda$，由于 $r,\theta ,\phi$ 均为独立自变量，故上式成立，除非等式左边和有边等于同一常数，令之为 $l(l+1)$，则得
$$\begin{array}{c}{r}^2\frac{{\mathrm{d}}^{2}R}{\mathrm{d}{r}^2}+2r\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}r}+\left[k^2{r}^2-l(l+1)\right]R=0\\ \frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin \theta \frac{\partial y}{\partial \theta }\right)+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}y}{\partial {\phi }^2}+l(l+1)y=0\end{array}$$

为截断发散的无穷级数需取常数为连续整数乘积$l(l+1)$。

方程 $\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin \theta \frac{\partial y}{\partial \theta }\right)+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}y}{\partial {\phi }^2}+l(l+1)y=0$ 称为球谐函数方程，再令$y(\theta ,\phi )=\Theta (\theta )\Phi (\phi )$，代人球谐函数方程并整理得
$$\{\begin{array}{l}{\Phi }^{\prime \prime }+m^2\Phi =0,m=0,1,2,\cdots \\ \frac{1}{\sin \theta }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\left(\sin \theta \frac{\mathrm{d}\Theta }{\mathrm{d}\theta }\right)+\left[l(l+1)-\frac{m^2}{{\sin }^2\theta }\right]\Theta =0\end{array}$$
于是，在球坐标系中求解亥姆霍兹方程的问题，就化为解三个常微分方程$R(r)、\Phi (\phi )、\Theta (\theta )$的问题。
$$\begin{array}{c}{r}^2\frac{{\mathrm{d}}^{2}R}{\mathrm{d}{r}^2}+2r\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}r}+\left[k^2{r}^2-l(l+1)\right]R=0\\ {\Phi }^{\prime \prime }+m^2\Phi =0,m=0,1,2,\cdots \\ \frac{1}{\sin \theta }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\left(\sin \theta \frac{\mathrm{d}\Theta }{\mathrm{d}\theta }\right)+\left[l(l+1)-\frac{m^2}{\sin \theta }\right]\Theta =0\end{array}$$
对于方程$r^2\frac{{\mathrm{d}}^{2}R}{\mathrm{d}{r}^2}+2r\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}r}+\left[k^2{r}^2-l(l+1)\right]R=0$，作变换 $x=kr,\frac{1}{\sqrt{x}}y(x)=R(r)$，则方程化为
$$x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }+\left[x^2-{\left(l+\frac{1}{2}\right)}^2\right]y=0$$
与贝塞尔方程的形式相似，称为球贝塞尔方程。对于方程$\frac{1}{\sin \theta }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\left(\sin \theta \frac{\mathrm{d}\Theta }{\mathrm{d}\theta }\right)+\left[l(l+1)-\frac{m^2}{{\sin }^2\theta }\right]\Theta =0$，作变换 $x=\cos \theta ,y(x)=\Theta (\theta )$，则化为
$$\left(1-x^2\right)y^{\prime \prime }-2x{y}^{\prime }+\left[l(l+1)-\frac{m^2}{1-x^2}\right]y=0$$
称之为$l$次$m$阶关联/连带 勒让德方程(associated Legendre Eq.)，表示为$P_l^m(x)$或$P_{lm}(x)$，其中$|m|\le l$。

$x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }+\left[x^2-{\left(l+\frac{1}{2}\right)}^2\right]y=0$为半整数阶Bessel 方程，$R(r)=\frac{J_{l+\frac{1}{2}}(kr)}{\sqrt{kr}}+\frac{N_{l+\frac{1}{2}}(kr)}{\sqrt{kr}}$，称为球贝塞尔函数，$\frac{J_{l+\frac{1}{2}}(kr)}{\sqrt{kr}}$也可用$j_l(x)$表示，$\frac{N_{l+\frac{1}{2}}(kr)}{\sqrt{kr}}$也可用$n_l(x)$表示。

${\Phi }_m(\phi )$的解表示形式${\Phi }_m(\phi )=\{\begin{array}{l}{a}_m\cos m\phi +b_m\sin m\phi ,m\in N\\ \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{im\phi },m\in Z\end{array}$，第二种表示一般用于球谐函数。

球谐函数$Y_{l,m}(\theta ,\phi )=c_{l,m}{P}_l^m(\cos \theta )e^{im\phi }$

下一章节：球函数与勒让德方程

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