解析函数复积分

复积分计算方法
利用留数计算实积分

复积分计算方法

设函数 $f (z)$ 在区域 $D$ 内解析，若 $D$ 是单连通区域，则 $\oint_lf(z)dz=0$ 。若 $D$ 是多连通区域，则需要排除奇点(不解析的点)，故解析函数内围线积分得
$\oint_{C_0} f(z) dz=\sum_{k=1}^n \oint_{C_k}f(z)dz=2 \pi \mathrm{i} \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}_{z=a_{k}} f(z)$
留数计算：

留数 $\operatorname{Res}_{z=a}f(z)=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_{C} f(z) \mathrm{d} z=c_{-1}$

为了计算方便，当留数奇点种类可知时，

若奇点是可去奇点，则留数为0；若奇点是本性奇点，则需要采用Laurent 展开后求得 $c_{-1}$ ；奇点若是一阶极点， $\operatorname{Res}_{z=b} f(z)= \lim _{z \rightarrow b}(z-b) f(z)$ ，奇点若是 $m$ 阶极点，则留数为 $\operatorname{Res}_{z=b} f(z)=\left.\frac{1}{(m-1) !} \frac{\mathrm{d}^{m-1}[(z-b)^{m} f(z)]}{\mathrm{~d} z^{m-1}}\right|_{z=b}$ 。

若围线内奇点过多，则可以计算无穷远点处的留数 $\operatorname{Res}_{z=\infty} f(z)=-c_{-1}(\infty)$ ，则围线内留数之和 $\sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}_{z=a_{k}} f(z)=-\operatorname{Res}_{z=\infty} f(z)$ 。

利用留数计算实积分

将实积分看做围线的一部分，我们将整个上半平面围起来，则有围线一部分线积分（实积分）+ 围线其他部分线积分 = 围线积分= $\left.2\pi i\sum_{k=1}^n Res\ f(b_k)\right|_{\Im\ b_k>0}$ ，因此求出围线其他部分上的线积分及围线内的留数即可得到实积分。【若奇点在实轴上则计算出留数后当乘 $\frac{1}{2}$ ，即上述积分应加上 $\left.\pi i\sum_{k=1}^n Res\ f(b_k)\right|_{\Im\ b_k=0}$ 】

在计算围线上各部分线积分是应当注意：无穷远的线积分可用大圆弧定理或若当引理给出，若实轴上出现奇点，则可以用小圆弧定理挖去，通过这样的化简我们使得围线的一部分（实积分）可以很容易的用上半平面的留数表示出来。

大圆弧定理：设 $f (z)$ 在 $\infty$ 点的邻域内连续在， $\theta_{1} \leqslant \arg z \leqslant \theta_{2}$ 中，当 $\rightarrow \infty$ 时， $z f (z)$ 一致地趋近于 $K$ ，则 $\lim _{R \rightarrow \infty} \int_{C_{R}} f(z) \mathrm{d} z=\mathrm{i} K\left(\theta_{2}-\theta_{1}\right)$ 。若分母阶数比分子高一阶以上，则 $K = 0$ ，线积分为0。

小圆弧定理：小圆弧引理：设 $f (z)$ 在充分小的圆弧上连续，且 $\lim _{r \rightarrow 0}(z-a) f(z)=\lambda$ 在 $C_{r}$ 上一致地成立，则有 $\lim _{r \rightarrow 0} \int_{C_{r}} f(z) \mathrm{d} z=\mathrm{i}\lambda\left(\theta_{2}-\theta_{1}\right)$ 。

若当引理：设在 $\leqslant \arg z \leqslant \pi$ 范围内，当 $\rightarrow \infty$ 时 $f (z)$ 一致地趋于 0 ，则 $\lim _{R \rightarrow \infty} \int_{C_{R}} f(z) \mathrm{e}^{\mathrm{i} p z} \mathrm{~d} z=0$ 。