原子的位形：卢瑟福模型

原子的位形：卢瑟福模型

汤姆孙模型掠射时作用力为： $F=\frac{2e(Ze)}{4\pi {\epsilon }_0{R}^2}$，其中 ${\epsilon }_0$ 为真空介电常量， $Z$为原子的正电荷数。为了估计 $\alpha$ 粒子由散射而引起的动量的变化，只要把作用力乘以粒子在原子附近度过的时间 $(\sim 2R/v)$, 故
$$\begin{array}{rl}\frac{\Delta p}{p}=\frac{2FR/v}{m_{\alpha }v}& =\frac{2Z{e}^2/\left(4\pi {\epsilon }_{0}R\right)}{\frac{1}{2}{m}_{\alpha }{v}^2}\\ & \approx \frac{2Z\times 1.44\mathrm{f}\mathrm{m}\cdot \mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{v}/0.1\mathrm{n}\mathrm{m}}{E_{\alpha }(\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{V})}\\ & \approx 3\times 10^{-5}\frac{Z}{E_{\alpha }}\mathrm{rad}\end{array}$$
电子电荷常数的一种有用表示法 $\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}=1.44\mathrm{f}\mathrm{m}\cdot \mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{v}$， $\mathrm{f}\mathrm{m}$ 代表费米, 是长度单位, $1\mathrm{f}\mathrm{m}=10^{-6}\mathrm{n}\mathrm{m}=10^{-15}\mathrm{m}$； $E_{\alpha }$ 代表 $\alpha$ 粒子动能，以 $\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{V}$ 为单位。

偏离角 $\theta =\frac{\Delta p}{p}$

$\alpha$ 粒子与电子碰撞：由于 $\alpha$ 粒子质量远大于电子质量，近似碰撞后速度不变仍为$v$，而电子速度变为$2v$，则$\alpha$粒子的动量变化为 $\theta \approx \frac{\Delta p}{p}\approx \frac{2m_{c}v}{m_{\alpha }v}\approx \frac{2m_c}{m_{\alpha }}$。 总之保守估计得偏离角 $\theta <10^{-4}\frac{Z}{E_{\alpha }}$

下图描述了远离靶核时，入射能量为 $E$ 、电荷为 $Z_{1}e$ 的带电粒子, 与电荷为 $Z_{2}e$ 的靶核发生散射的情况。库仑散射公式：

$$ b=\frac{a}{2}\cot{\frac{\theta}{2}} $$ $a=\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0}\frac{Z_1Z_2}{E}$称为库仑散射因子。$b$是瞄准距离，又称碰撞参数，即入射粒子与固体散射体无相互作用情况下的最小直线距离，$\theta$为散射角。$\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}=1.44 \mathrm{fm}\cdot \mathrm{Mev}$。

库仑力是中心力，满足角动量守恒 $m{r}^2\frac{d\phi }{dt}=L$，入射能量$E$应当理解为质心系能量，$E_c=\frac{1}{2}{m}_{\mu }{v}^2$，$m_{\mu }$为折合适量 $m_{\mu }=\frac{m{m}^{\prime }}{m+m^{\prime }}$，$E_c=\frac{m^{\prime }}{m+m^{\prime }}E$。

设一薄箔的面积为$A$，厚度为$t$，则体积元$At$内共有$nAt$个原子核，立体角$d\Omega =2\pi \sin \theta d\theta$。

$n$为原子核的数密度，$n=\frac{N_A}{V_m}=\frac{N_A\rho }{M}$。

对于单个原子核，瞄准距离在$b$到$b+db$的$\alpha$粒子(即散射到$\theta$到$\theta -d\theta$ 即$d\Omega$方向)的概率：$\frac{2\pi b|\mathrm{d}b|}{A}=\frac{a^2\mathrm{d}\Omega }{16A{\sin }^4\frac{\theta }{2}}$，对于整个金属箔则概率为：$\mathrm{d}p(\theta )=\frac{a^2\mathrm{d}\Omega }{16A{\sin }^4\frac{\theta }{2}}nAt=\frac{a^2\mathrm{d}\Omega }{16{\sin }^4\frac{\theta }{2}}nt$，若有$N$个粒子打在薄膜上，则在$d\Omega$方向的粒子数： $\mathrm{d}{N}^{\prime }=Np(\theta )=ntN{\left(\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Z_1{Z}_2}{E}\right)}^2\frac{\mathrm{d}\Omega }{16{\sin }^4\frac{\theta }{2}}$

定义微分截面：${\sigma }_{\mathrm{C}}(\theta )\equiv \frac{\mathrm{d}\sigma (\theta )}{\mathrm{d}\Omega }\equiv \frac{\mathrm{d}{N}^{\prime }}{Nnt\mathrm{d}\Omega }$，${\sigma }_{\mathrm{C}}(\theta )$ 具有面积的量纲 ${\mathrm{m}}^2/\mathrm{s}\mathrm{r}$ (米²/球面度)它代表对于单位面积内每个靶核，单位入射粒子、单位立体角内的粒子数。由此我们可以得到卢瑟福公式：
$${\sigma }_C(\theta )=\frac{a^2}{16{\sin }^4\frac{\theta }{2}}={\left(\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Z_1{Z}_2}{E}\right)}^2\frac{1}{16{\sin }^4\frac{\theta }{2}}$$

通常以靶恩 (简称靶，符号 b) 作为截面单位，$1\mathrm{b}=10^{-28}{\mathrm{m}}^2$，[通常以靶恩 (简称靶，符号 b) 作为截面单位，相应散射截面${\sigma }_{\mathrm{C}}(\theta )$的单位是$b/sr$]

散射角度大于${\theta }_0$的粒子占比为：$N^{\prime }=\int Nnt{\sigma }_{c}d\Omega ={\int }_{{\theta }_0}^{\pi }nt{a}^2\frac{2\pi \sin \theta }{16{\sin }^4\frac{\theta }{2}}d\theta$，$\frac{N^{\prime }}{N}=\frac{N_A\rho t\pi a^2}{4M}{\int }_{{\theta }_0}^{\pi }\frac{2d(sin\frac{\theta }{2})}{{\sin }^3\frac{\theta }{2}}=\frac{N_A\rho t\pi a^2}{4M}(\frac{1}{{\sin }^2\frac{{\theta }_0}{2}}-\frac{1}{{\sin }^2\frac{\pi }{2}})$

$\frac{N^{\prime }}{N}=nt\pi b^2=\frac{N_A\rho }{M}t\pi (\frac{a}{2}\cot \frac{\theta }{2}{)}^2$

原子核大小的估算

粒子和原子核对头碰撞时的最小距离为：$r_{\mathrm{m}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Z_1{Z}_2{e}^2}{E_{\mathrm{c}}}$，当原子核与粒子质量相差不大时，质心系能量为$E_c=\frac{1}{2}{m}_{\mu }{v}^2=\frac{m^{\prime }}{m+m^{\prime }}{E}_k$，则粒子与金属核对头碰撞的最小距离
$$r_{\mathrm{m}}=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Z_1{Z}_2}{E_{\mathrm{c}}}=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Z_1{Z}_2}{E_{\mathrm{k}}}(1+\frac{m}{m^{\prime }})$$
入射粒子所需要的能量为
$$E_k=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Z_1{Z}_2}{r_{\mathrm{m}}}(1+\frac{m}{m^{\prime }})$$

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