原子的量子态：玻尔模型

原子的量子态：玻尔模型

普朗克提出了黑体辐射能量密度的分布公式：$E(\nu ,T)\mathrm{d}\nu =\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{\mathrm{d}\nu }{{\mathrm{e}}^{h\nu /kT}-1}$。

普朗克常量：$h=6.626\times 10^{-34}J\cdot s$

光电效应：$\frac{1}{2}m{v}_m^2=h\nu -A$，$A$是金属中的结合能(脱出功)

光电效应中$e{U}_0=h\nu -A$

巴耳末公式，表示氢原子谱线波数的经验公式：$\tilde{\nu }\equiv \frac{1}{\lambda }=\frac{4}{B}\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^{\prime 2}}\right),n^{\prime }=3,4,5,\cdots$，巴耳末系对应于氢原子从$n=n^{\prime }$的状态跃迁到$n=2$的状态。

里德伯公式，$\tilde{\nu }\equiv \frac{1}{\lambda }=R_{\text{H }}\left[\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^{\prime 2}}\right]=T(n)-T\left(n^{\prime }\right)$，其中 $T(n)$ 称光谱项，$T(n)=\frac{R_{\mathrm{H}}}{n^2}$，$n^{\prime }$和$n$分别表示电子在跃迁前后所处状态的量子数。氢的所有谱线都可用这个方程表示，其中 $R_{\mathrm{H}}=\frac{4}{B}$，称之为里德伯常量。根据里德伯公式可以计算光谱谱线波长。

玻尔模型的氢原子理论：经典轨道+定态条件；频率条件；角动量量子化。
$$r_n=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\hslash }^2}{m_e{e}^2}\cdot n^2;\hslash \equiv \frac{h}{2\pi }$$

$$E_n=-\frac{m_{\mathrm{e}}{e}^4}{{\left(4\pi {\epsilon }_0\right)}^2\cdot 2{\hslash }^2{n}^2}=-\frac{m_{\mathrm{e}}{c}^2}{2}{\left(\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0\hslash c}\right)}^2\cdot \frac{1}{n^2}=-\frac{m_e}{2}(\alpha c{)}^2\frac{1}{n^2}$$

精细结构常数$\alpha$，$\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0\hslash c}\equiv \alpha \approx \frac{1}{137}$。

角动量量子化条件 $L=m_e{v}_n{r}_n=n\hslash ,n=1,2,3,\cdots$

氢原子的第一玻尔半径
$$\begin{array}{rl}{r}_1& \equiv a_1=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\hslash }^2}{m_{\mathrm{e}}{e}^2}=\frac{(\hslash c{)}^2}{m_{\mathrm{e}}{c}^2{e}^2/4\pi {\epsilon }_0}\\ & =\frac{(197{)}^2}{0.511\times 10^6\times 1.44}\mathrm{n}\mathrm{m}\approx \frac{0.039\times 10^6}{0.73\times 10^6}\mathrm{n}\mathrm{m}\approx 0.053\mathrm{n}\mathrm{m}\end{array}$$
第一玻尔半径通常又以 $a_0$ 表示，并习惯上就称之为玻尔半径，它也是原子物理中常用的长度单位。

对于特殊的核，例如正电子、$\mu$子或不假定静止的氢核中，应该使用折合质量$m_{\mu }=\frac{m_e{m}_A}{m_e+m_A}$，基态核与电子距离 $r_1=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\hslash }^2}{m_{\mu }{e}^2}$，电离能 $E=E_{\infty }-E_1=R_{A}hc,R_A=R\frac{1}{1+\frac{m_e}{m_A}}=R\frac{m_A}{m_e+m_A}$。

再根据玻尔角动量量子化条件 $m_e{v}_n{r}_n=n\hslash$，得 $v_n=\frac{e^2}{4\pi ϵn\hslash }$。

氢原子基态能量：$E_1=-\frac{m_e}{2}(\alpha c{)}^2=-\frac{1}{2}(0.511\times 10^6)\times (\frac{1}{137}{)}^{2}eV\approx -13.6eV$，若定义基态能量为0，则无穷远处能量为$E_{\infty }=13.6eV$。这就是把氢原子基态的电子移到无限远处时所需要的能量，即氢原子的电离能。

表征原子的两个重要物理量：一是线度，玻尔第一半径；一是能量，氢原子基态能量或电离能。

由$E_1=-\frac{m_e}{2}(\alpha c{)}^2$可以看出，$v_1=\alpha c$，它被定义为玻尔第一速度，$v_1=\frac{1}{137}c$。

玻尔能量轨道公式 $E_n=-\frac{m_{\mathrm{e}}{e}^4}{{\left(4\pi {\epsilon }_0\right)}^2\cdot 2{\hslash }^2{n}^2}=-\frac{Rhc}{n^2}$，$R=-\frac{2{\pi }^2{e}^4{m}_{\mathrm{e}}}{{\left(4\pi {\epsilon }_0\right)}^2\cdot c{\hslash }^3}$为里德伯常数，式中$Rhc=13.6eV$。

对于正电荷数为$Z$的原子的第$n$玻尔半径电子来说，$r_n^{\prime }=\frac{r_n}{Z}=\frac{n^2{r}_1}{Z}=0.053\frac{n^2}{Z}nm$，$v_n^{\prime }=Z{v}_n=\frac{Z}{n}\times 2.19\times 10^{6}m/s$，$E_n^{\prime }=-\frac{Rhc}{n^2}{Z}^2=-\frac{Z^2}{n^2}\times 13.6eV$。

原子第$n$激发态向第$n^{\prime }$激发态跃迁时所辐射的光子能量 $\Delta E=E_{n-1}-E_{n^{\prime }-1}$，第$n$激发态原子的电离能为 $\Delta E=E_{\infty }-E_{n-1}=0\mathrm{e}\mathrm{V}-E_{n-1}$，电离出的电子有 $E_k=\Delta E,v=\sqrt{\frac{2E_k}{m_e}}=\sqrt{\frac{2E_k{c}^2}{m_e{c}^2}}=\sqrt{\frac{2E_k}{0.511\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{V}}}\times 3\times 10^8\mathrm{m}/\mathrm{s}$。

基尔霍夫证明黑体与热辐射达到平衡时，辐射能量密度 $E(\nu ,T)$ 随频率 $\nu$ 变化曲线的形状仅于黑体的热力学温度$T$有关。

维恩发现了黑体辐射的位移定律即黑体辐射本领 $R(\lambda ,T)$ 在不同温度$T$下，随$\lambda$的变化规律。$R(\lambda ,T)$是表示单位时间从黑体面积上所辐射出去的波长在$\lambda$附近单位波长范围内的能量大小。维恩位移律公式：${\lambda }_{m}T=0.2898cm\cdot K$

类似的，辐射本领$R(\nu ,T)$，即单位时间黑体上所辐射的频率在$\nu$附近单位频率范围内能量随$\nu$的变化规律。可以发现，极大值所对应的${\nu }_m$与黑体热力学温度成正比。

总辐射本领 $R$ 有如下表达式
$$R(T)={\int }_0^{\infty }R(\lambda ,T)\mathrm{d}\lambda =-{\int }_0^{\infty }R(\nu ,T)\mathrm{d}\nu$$
即有等式$R(\lambda ,T)\mathrm{d}\lambda =-R(\nu ,T)\mathrm{d}\nu$，由此可得 $R(\lambda ,T)=\frac{c}{{\lambda }^2}R\left(\nu =\frac{c}{\lambda },T\right)$。

小孔(黑体)辐射本领$R(\lambda ,T)$与腔内热平衡时的辐射场的能量密度 $E(\nu ,T)$ 有关系：$R(\nu ,T)=\frac{c}{4}E(\nu ,T)$。

为什么要在$R(\nu ,T)\mathrm{d}\nu$前加负号？

数学解释：假定$R(\lambda ,T)\mathrm{d}\lambda$在积分过程中$\lambda$从0积到$\infty$，那么对应到$R(\nu ,T)=R(\frac{c}{\lambda },T)$则是从$\lambda$的$\infty$积到0，两者积分上下限不同需要加负号。

维恩根据实验结果得到的经验公式 $E(\nu ,T)\mathrm{d}\nu =C_1{\nu }^3{\mathrm{e}}^{-C_2\nu /T}\mathrm{d}\nu$ 在短波区与显著偏差。

瑞利-金斯根据经典电动力学和统计物理学得到的公式则在频率过大时发散，成为了“紫外灾难”。

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