Mathematica保姆级教程

Mathematica保姆级教程

• 特殊符号
• 内置函数与自定义函数
• 输出精度
• 绘图
• 解方程与微积分
• 大杂烩

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特殊符号

添加注释：1+2 (*输入注释*)，注释内容的快捷键为Alt+/。

%表示上一次的计算结果。

回车Enter表示换行，Shift键与回车Shift+Enter同时按下表示执行程序。

一个表达式以分号；结尾则不输出计算结果，一行可以写多个表达式，但是需要用分号分隔。

()圆括号表示项的结合顺序，如(x+(y^x+1/(2x)))；[]方括号表示函数，如Log[x]，Sin[x,1]；{}大括号表示一个“表”(一组数字、任意表达式、函数等的集合)，如{2x,Sin[12 Pi],{1+A,y*x}}；[[]]双方括号表示“表”或“表达式”的下标，如a[[2,3]]、{1,2,3}[[1]]=1。

MMA中第一个元素下标为1

公式输入快捷键：分数线 Ctrl+/，二次根式Ctrl+2，$n$次根式Ctrl+2, Ctrl+5，上标Ctrl+6，下标Ctrl+_，同时输入上下标Ctrl+_,Ctrl+5

内置函数与自定义函数

Mathematica有已经定义好的内置变量与函数，其以大写字母开头，如常见的Pi表示 $\pi$ ，Sin[]正弦函数，Plot[]用于函数绘制等。

内置函数如Log[]求指数函数，Round[]四舍五入，Max[]取最大值，Exp[]指数函数，Sin[]正弦。自定义函数写作f[x_]=Fun[x]，如f[x_]=x^2，这里的自变量用x_表示，如果是多变量的函数就用f[x_,y_,z_]来表示。

分段函数

分段函数定义需要使用内建函数If[]，如x大于等于0时函数值等于x，函数值小于x时等于x^2，可写做f[x_]=If[x>=0,x=x,x=x ^2]。也可以用If实现多段函数的定义。

多段函数(三及以上)的绘制

f[x_] := If[x < 0, x - 1, If[x < 2, x^2, Sin[3 x]]]

Plot[u[x], {x, -2, 10}]

输出精度

Mathematica默认以绝对精确的形式输出计算结果。例如：输入 3/2，系统会输出 $\frac{3}{2}$，如果想得到近似解，则应输入 N[3/2,5]，即求其5位有效数字的数值解，系统会输出0.66667。此外，Mathematica还可以根据你前面使用的数字的精度自动地设定精度。

可以用两个内置函数将数字转化为有理数或者实数，N[x,n]可以将x转化为实数，精度位数为n其中n可以省略，Rationalize[x,dx]将x转化为有理数，误差小于dx。

绘图

图形函数中最有代表性的函数为Plot[表达式，{变量，下限，上限}，可选项]，(其中表达式还可以是一个"表达式表"，这样可以在一个图里画多个函数)；变量为自变量；上限和下限确定了作图的范围；

单个图形：Plot[Fun[x],{x，xmin，xmax},options]，即在区间{x，xmin，xmax}上，按选项的要求画出函数f的图形。

多个图形：Plot[{Fun1[x],Fun2[x]},{x，xmin，xmax},options]，在区间{x，xmin，xmax}上，按选项的要求画出几个函数的图形。

可选项可要可不要，不写系统会按默认值作图，它表示对作图的具体要求。例如Plot[Sin[x],{x,0,2*Pi},AspectRatio-1]表示在0<x<2Pi的范围内作函数Sin[x]的图象，AspectRatio为可选项，表示图的x向y向比例，AspectRatio-1表示纵横比例为1:1，如果不写这一项，系统默认比例为1:GodenRatio，即黄金分割的比例 (注意，可选项的写法为可选项名-可选项值) ，Plot还有很多可选项，如PlotRange表示作图的值域，PlotPoint表画图中取样点的个数，越大则图越精细，PlotStyle来确定所画图形的线宽、线型、颜色等特性，AxesLabel表式在坐标轴上作标记等等。

关于三维图的绘制

三维曲线：ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,t0,t1},options] 画一个X轴, Y轴坐标为{x[t],y[t]}，参变量t在[t0,t1]中的参数曲线。

三维图形：Plot3D[f[x,y],{x,x0,x1},{y,y0,y1},选项]，画出空间曲面f[x,y]。

ListLinePlot[Table[RandomInteger[{1, 10}], {10}]]`，先产生十个一到十之间的随机整数，放到表中。然后画出拆线图。

Plot3D[Sin[x + y], {x, -3, 3}, {y, -2, 2}]，当变量有两个时，输出函数的立体图。

动画 ListAnimate[Table[Plot[Sin[n x],{x,0,10}],{n,5}]]

解方程与微积分

求解方程组，使用函数Solve[]：Solve[a*x^2 + b*x + c == 0, x]或写为Solve[a x^2 + b x + c == 0, x]

MMA中空格可以代替乘号，若a与x中间没有空格或*，那么MMA会将ax视作变量，错误示范：Solve[ax^2 + bx + c == 0, x]

解方程 $\{\begin{array}{l}x+3y=2\\ -2x+6y=0\end{array}$

Solve[{x+3*y==2&&-2*x+6*y==0},{x,y}]，方程用&&连接

不定积分：Integrate[1/(1 - x^2), x]

求导函数，用D： D[%, x]，%表示上一个输出结果。D[%, {x, 5}]为求$n$阶导。

化简：Simplify[%]

计算定积分：Integrate[Sin[x], {x, 0, Pi}]

计算二重积分：Integrate[Sqrt[x^2 + y^2], {x, 0, 1}, {y, 0, x}]

解微分方程：DSolve[y''[x] == a y[x], y[x], x]

解常微分方程组：NDSolve[{x'[t] == -y[t] - x[t]^2, y'[t] == 2 x[t] - y[t]^3, x[0] == y[0] == 1}, {x, y}, {t, 20}] NSolve是先求出解析解（精确的表达式），然后计算它的数值

求反函数：Clear[f]; f[x_] := 3^x/(3x+2); InverseFunction[f][x]

如果我们需要求解 $x=\sin x{e}^x$ 这类没有解析解的函数，Solve和NSolve都会失效，这时我们就要用到FindRoot[]，FindRoot直接求数值解FindRoot[x == Sin[x]*Exp[x], {x, 1}]

解数列通项用RSolve，比如解$a_{n+1}-2a_n=1$：RSolve[a[n + 1] - 2 a[n] == 1, a[n], n]，如果还有初始条件，那么RSolve[{a[n + 1] - 2 a[n] == 1, a[0] == 1}, a[n], n]

求极限：Limit[(2^(1/x) - 1)/(2^(1/x) + 1), x -> 0]

大杂烩

MMA的三个基本构造块，即三个atom是：符号 symbol，数字 number，串 string

至于常用数据，在MMA中，是经常用表 (list) 来表示的，用{}括起来。{1, 2, 3}

Sin[x]^2表示${\sin }^{2}x$
Sin[x^2]表示$\sin (x^2)$