树状树状

树状数组基础
树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于数组的单点修改&&区间求和.

另外一个拥有类似功能的是线段树.

 

具体区别和联系如下:

1.两者在复杂度上同级, 但是树状数组的常数明显优于线段树, 其编程复杂度也远小于线段树.

2.树状数组的作用被线段树完全涵盖, 凡是可以使用树状数组解决的问题, 使用线段树一定可以解决, 但是线段树能够解决的问题树状数组未必能够解决.

3.树状数组的突出特点是其编程的极端简洁性, 使用lowbit技术可以在很短的几步操作中完成树状数组的核心操作,其代码效率远高于线段树。

上面出现了一个新名词:lowbit.其实lowbit(x)就是求x最低位的1;

下面加图进行解释

对于一般的二叉树,我们是这样画的

 

把位置稍微移动一下,便是树状数组的画法

 

上图其实是求和之后的数组,原数组和求和数组的对照关系如下,其中a数组是原数组,c数组是求和后的数组:

 

 

C[i]代表 子树的叶子结点的权值之和

如图可以知道

C[1]=A[1];

C[2]=A[1]+A[2];

C[3]=A[3];

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];

C[5]=A[5];

C[6]=A[5]+A[6];

C[7]=A[7];

C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

再将其转化为二进制看一下:

 

        C[1] = C[0001] = A[1];

        C[2] = C[0010] = A[1]+A[2];

        C[3] = C[0011] = A[3];

        C[4] = C[0100] = A[1]+A[2]+A[3]+A[4];

        C[5] = C[0101] = A[5];

        C[6] = C[0110] = A[5]+A[6];

        C[7] = C[0111] = A[7];

        C[8] = C[1000] = A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

对照式子可以发现  C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i]; (k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度)例如i=8(1000)时,k=3;

C[8] = A[8-2^3+1]+A[8-2^3+2]+......+A[8]

即为上面列出的式子

 

现在我们返回到lowbit中来

其实不难看出lowbit(i)便是上面的2^k

因为2^k后面一定有k个0

比如说2^5==>100000

正好是i最低位的1加上后缀0所得的值

 

开篇就说了,lowbit(x)是取出x的最低位1;具体操作为

int lowbit(x){return x&(-x);}

极致简短!!!!现在我们来理解一下这行代码:

 

我们知道,对于一个数的负数就等于对这个数取反+1

以二进制数11010为例:11010的补码为00101,加1后为00110,两者相与便是最低位的1

其实很好理解,补码和原码必然相反,所以原码有0的部位补码全是1,补码再+1之后由于进位那么最末尾的1和原码

最右边的1一定是同一个位置(当遇到第一个1的时候补码此位为0,由于前面会进一位,所以此位会变为1)

 

所以我们只需要进行a&(-a)就可以取出最低位的1了

会了lowbit,我们就可以进行区间查询和单点更新了!!!

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单点更新:

继续看开始给出的图

此时如果我们要更改A[1]

则有以下需要进行同步更新

 

1(001)        C[1]+=A[1]

lowbit(1)=001 1+lowbit(1)=2(010)     C[2]+=A[1]

lowbit(2)=010 2+lowbit(2)=4(100)     C[4]+=A[1]

lowbit(4)=100 4+lowbit(4)=8(1000)   C[8]+=A[1]

换成代码就是:

void update(int x,int y,int n){
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))    //x为更新的位置,y为更新后的数,n为数组最大值
        c[i] += y;
}

 

 

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区间查询:

举个例子 i=5

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]; 

C[5]=A[5];

可以推出:   sum(i = 5)  ==> C[4]+C[5];

序号写为二进制: sum(101)=C[(100)]+C[(101)];

第一次101,减去最低位的1就是100;

 

其实也就是单点更新的逆操作

代码如下:

int getsum(int x){
    int ans = 0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
        ans += c[i];
    return ans;
}

 

 

 

 

高级操作

求逆序对

操作

对于数组a,我们将其离散化处理为b[].区间查询与单点修改代码如下

void update(int p)
{
    while(p<=n)
    {
        a[p] ++;
        p+=lowbit(p);
    }
}
 
int getsum(int p)
{
    int res = 0;
    while(p)
        res += a[p],p -= lowbit(p);
    return res;
}

 

a的逆序对个数为:

for(int i=1;i<=n;i++){
    update(b[i]+1);
    res += i-getsum(b[i]+1);
}

 

 

 

 

 

 

本文内容摘抄于:
树状数组 数据结构详解与模板
 
 
posted @ 2019-04-29 20:40  莫瑞  阅读(252)  评论(0编辑  收藏  举报