判断素数

 

1.对于判断一个数n是否为素数，最朴素的方法是按素数的定义，试除以从2开始到m-1的整数，如果无一例外地不能整除，则该数一定是素数。

质数（prime number）又称素数，有无限个。
质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数。

 

#include<iostream>
using namespace std;

int n;

int main(){
    cin>>n;
    for( int i=2 ; i<=n ; ++i ){
        if( n%i==0 ){
            cout<<n<<" isn't a prime "<<endl;
            return 0;
        }
    }
    cout<<n<<" is a prime "<<endl;
    return 0;
}

 

2.想一想，若2都不能除尽，还要试4, 6, 8, …吗？若3都不能除尽，还要试9, 15, 21, …吗？一个数，如果有因子的话，那么在它的平方根数以内就应该有，否则就没有因子。所以必定有一个因子不大于m的平方根。故判断m是否为素数，只要试除到m的平方根就可以了，不必一直到m-1。

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

int n;

int main(){
    cin>>n;
    for( int i=2 ; i<=sqrt(n) ; ++i ){
        if( n%i==0 ){
            cout<<n<<" isn't a prime "<<endl;
            return 0;
        }
    }
    cout<<n<<" is a prime "<<endl;
    return 0;
}

 

 

3.另一种判断素数的方法–筛法。从文件prime.txt中读入一些整数，然后判断其是否为素数。从2开始的某个连续整数集合，留下2，除去所有2的倍数，留下3，除去所有3的倍数，留下5，再除去所有5的倍数，如此等等。留下某个最先遇到的素数，将其所有的倍数从该数集中去掉。最后，数集中就全是素数了。接下来，要判断一个数是否为素数，可以该数为下标，访问素数集合。如果是，则为素数，否则不是素数。

【普通筛——埃拉托斯特尼(Eratosthenes)筛法】　　时间复杂度O(nloglogn)

#include<iostream>
using namespace std;

int n;
bool prime[10086];

int main(){
    
    cin>>n;
    for( int i=2 ; i<=n ; ++i ){
        if( !prime[i] ){
            for( int j=2 ; j*i<=n ; ++j ){
                prime[i*j]=1;
            }
        }
    }
    return 0;
}

 

 

【线性筛——欧拉Euler筛】　　时间复杂度为O(n)

prime[]数组中的素数是递增的,当i能整除prime[j]，那么i*prime[j+1]这个合数肯定被prime[j]乘以某个数筛掉。因为i中含有prime[j],prime[j]比prime[j+1]小，即i=k*prime[j]，那么i*prime[j+1]=(k*prime[j])*prime[j+1]=k’*prime[j]，接下去的素数同理。所以不用筛下去了。因此，在满足i%prime[j]==0这个条件之前以及第一次满足改条件时,prime[j]必定是prime[j]*i的最小因子。

#include<iostream>
using namespace std;

int n;
int prime[10086],c;
bool num[10086];

int main(){
    cin>>n;
    
    for( int i=2 ; i<=n ; ++i ){
        if( !num[i] ) prime[++c]=i;
    
        for( int j=1 ; i*prime[j]<=n && j<=c ; ++j ){
            num[ i*prime[j] ] = 1;
            if( i%prime[j]==0 ) break;
        }
    }
    
    for( int i=1 ; i<=c ; ++i ){
        cout<<prime[i]<<" ";
    }

　　return 0;
}

 

 

 

文章内容摘抄于：

质数_百度百科

如何判断素数(C++版) - 28号更新 - CSDN博客

判断素数(一般筛到线性筛) - 菜鸡成长史 - CSDN博客