位运算

程序中的所有数在计算机内存中都是以二进制的形式储存的。位运算就是直接对整数在内存中的二进制位进行操作。

 

运算说明

=== 1. and运算 & ===

and运算通常用于二进制的取位操作，例如一个数 and 1的结果就是取二进制的最末位。这可以用来判断一个整数的奇偶，二进制的最末位为0表示该数为偶数，最末位为1表示该数为奇数。

相同位的两个数字都为1，则为1；若有一个不为1，则为0。

00101

11100

（&或者and）

----------------

00100

=== 2. or运算 | ===

or运算通常用于二进制特定位上的无条件赋值，例如一个数or 1的结果就是把二进制最末位强行变成1。如果需要把二进制最末位变成0，对这个数or 1之后再减一就可以了，其实际意义就是把这个数强行变成最接近的偶数。

相同位只要一个为1即为1。

00101

11100

（|或者or）

----------------

11101

=== 3. xor运算 ^ ===

异或的符号是^。按位异或运算, 对等长二进制模式按位或二进制数的每一位执行逻辑按位异或操作. 操作的结果是如果某位不同则该位为1, 否则该位为0.

xor运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即（a xor b) xor b = a。xor运算可以用于简单的加密，比如我想对我MM说1314520，但怕别人知道，于是双方约定拿我的生日19880516作为密钥。1314520 xor 19880516 = 20665500，我就把20665500告诉MM。MM再次计算20665500 xor 19880516的值，得到1314520。

相同位不同则为1，相同则为0。

00101

11100

（^或者xor）

----------------

11001

 

=== 4. not运算 ~ ===

按照我平时的理解，当我使用~按位取反运算的时候，计算机会将操作数所对应的二进制表达式的每一个位进行取反计算，取反后所得到的值就是~按位取反的运算结果（这点没问题）

例如，假如我的计算机是32位的，我接下来要计算~5的值，计算过程如下：

5 的二进制表达式为：0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0101

执行~运算，即~5后: 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1010，即结果为-6

以上过程没有任何问题，但我们如果忘记了负数的二进制表达方式，那么就会对这个结果产生疑问，为什么1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1010表示-6，可能我们会以为它应该表示-10等等，所以，理解~按位取反的另一个关键就是理解1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1010为什么表示-6，也即理解负数的二进制表达方式。

现在计算机普遍使用补码表示负数。知道一个数的补码，要求其值的方法是：首先看符号位也就是最左的一位，如果是1代表是负数(-)如果是0代码是正数(+)，然后对该值取反再+1，得到其源码。

例如本例中得到的 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1010，其符号位（最左一位）是1，表明它表示的是负数，欲求其源码，需先对其取反，然后再加1：0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0101 + 1 = 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0110，然后在得到的源码前加一个负号，即-0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0110 = -6。以上便是对~按位取反运算以及负数的二进制表示的理解，不难发现，在求源码的时候，要将补码进行取反后再加1，然而这个补码原本就是之前由~运算时，对原来的操作数通过~按位取反而得来的，所以，此时在求该补码的源码时的取反操作，相当于将补码变回了原来的那个操作数，之后进行的加1操作就相当于对原来的操作数进行加1，只不过结果变成了他的相反数。

因此，可以总结出~按位取反的计算结论是：~n = -(n+1)

例如本例中，~5 = -(5+1)，即~5 = -6

 

=== 5. shl运算 << ===

a shl b就表示把a转为二进制后左移b位（在后面添b个0）。例如100的二进制为1100100，而110010000转成十进制是400，那么100 shl 2 = 400。可以看出，a shl b的值实际上就是a乘以2的b次方，因为在二进制数后添一个0就相当于该数乘以2。

通常认为a shl 1比a * 2更快，因为前者是更底层一些的操作。因此程序中乘以2的操作请尽量用左移一位来代替。

定义一些常量可能会用到shl运算。你可以方便地用1 shl 16 - 1来表示65535。很多算法和数据结构要求数据规模必须是2的幂，此时可以用shl来定义Max_N等常量。

=== 6. shr运算 >> ===

和shl相似，a shr b表示二进制右移b位（去掉末b位），相当于a除以2的b次方（取整）。我们也经常用shr 1来代替div 2，比如二分查找、堆的插入操作等等。想办法用shr代替除法运算可以使程序效率大大提高。最大公约数的二进制算法用除以2操作来代替慢得出奇的mod运算，效率可以提高60%。

 

 

优先级

C语言中位运算符之间，按优先级顺序排列为

1	~
2	<<、>>
3	&
4	^
5	|
6	&=、^=、|=、<<=、>>=

  简单应用

去掉最后一位	(101101->10110)	x >> 1
在最后加一个0	(101101->1011010)	x << 1
在最后加一个1	(101101->1011011)	(x << 1 ) + 1
把最后一位变成1	(101100->101101)	x | 1
把最后一位变成0	(101101->101100)	( x | 0 ) - 1
最后一位取反	(101101->101100)	x ^ 1
把右数第k位变成1	(101001->101101,k=3)	x | ( 1 << (k-1) )
把右数第k位变成0	(101101->101001,k=3)	x & ( ~( 1<< (k-1) )
右数第k位取反	(101001->101101,k=3)	x ^ ( 1<<(k-1) )
取末三位	(1101101->101)	x & 7
取末k位	(1101101->1101,k=5)	x & 15（届时打表运算）
取右数第k位	(1101101->1,k=4)	(x >> (k-1) )& 1
把末k位变成1	(101001->101111,k=4)

 

　　　

 

 

　　　　　  |　　  | x or (1 shl k-1)

末k位取反 　　　　　　   |　　 (101001->100110,k=4) | x xor (1 shl k-1)

把右边连续的1变成0　　  |　　 (100101111->100100000) | x and (x+1)

把右起第一个0变成1 　　 | 　　(100101111->100111111) | x or (x+1)

把右边连续的0变成1　　  | 　　(11011000->11011111) | x or (x-1)

取右边连续的1　　　　    | 　　(100101111->1111) | (x xor (x+1)) shr 1

去掉右起第一个1的左边    | 　　(100101000->1000) | x and not (x xor (x-1))（或 x and (-x)）

 

 

 

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