最大子矩阵问题———悬线法
悬线法可以用来求一类带有障碍点的最大子矩阵问题,对于一个\(N \times M\)的矩阵,该算法时间复杂度\(O(NM)\)。
基本概念
- 有效竖线:除了两个端点外,不覆盖任何一个障碍点的竖直线段
- 悬线:上端覆盖了一个障碍点的或者到达整个矩形上边界的有效竖线
- 悬线对应矩形:如果把一个悬线向左右两个方向尽可能的移动,会得到一个矩形,我们称它为悬线对应矩形
- 每个悬线与它底部的点一一对应
- 悬线对应矩形不一定是极大子矩形,但极大子矩形一定是悬线对应矩形
实现方法
根据“基本概念”的最后一条,我们只要求出所有的悬线对应矩形,就能找出所有的极大子矩形,从而找出最大子矩形。因为悬线最多有\((N-1) \times M\)条,只要我们能\(O(1)\)转移悬线,就能得到一个总时间复杂度为\(O(NM)\)的优秀算法
接下来我们考虑如何转移
数组名 | 作用 |
---|---|
h[i][j] |
点\((i,j)\)对应的悬线的长度 |
l[i][j] |
点\((i,j)\)左边的第一个障碍(若没有,则为边界) |
r[i][j] |
点\((i,j)\)右边的第一个障碍(若没有,则为边界) |
L[i][j] |
点\((i,j)\)对应的悬线能移动到的最左边的位置 |
R[i][j] |
点\((i,j)\)对应的悬线能移动到的最右边的位置 |
首先,我们预处理一下l,r,L,R
四个数组(不同的题目处理的方式可能有略微的差别)
int pos;
for(int i=1;i<=n;i++){
pos=0;
for(int j=1;j<=m;j++)
if(mapp[i][j]) l[i][j]=pos;
else L[i][j]=0,pos=j;
pos=m+1;
for(int j=m;j>=1;j--){
if(mapp[i][j]) r[i][j]=pos;
else R[i][j]=m+1,pos=j;
}
}
上面只是求出了不合法的L[i][j],R[i][j]
,接下来我们要求出所有的L[i][j],R[i][j]
for(int i=1;i<=m+1;i++) R[0][i]=m+1;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++){
if(mapp[i][j]){
h[i][j]=h[i-1][j]+1;
L[i][j]=max(l[i][j]+1,L[i-1][j]);
R[i][j]=min(r[i][j]-1,R[i-1][j]);
}
}
之后我们遍历一下每个点,对于点\((i,j)\),它对应的矩形右下角为(i,R[i][j])
,左上角为(i-h[i][j]+1,L[i][j])
例题
-
这好像是一道权限题,不过Luogu上也有
悬线法裸题,上面讲的代码就出自此题
-
ZJOI2007 棋盘制作
悬线法裸题+1,只不过将判断\(0/1\)换成了异或
int pos;
for(int i=1;i<=n;i++){
l[i][1]=1;
for(int j=2;j<=m;j++)
if(mapp[i][j]^mapp[i][j-1])
l[i][j]=l[i][j-1];
else l[i][j]=j;
r[i][m]=m;
for(int j=m-1;j>=1;j--)
if(mapp[i][j]^mapp[i][j+1])
r[i][j]=r[i][j+1];
else r[i][j]=j;
}
for(int i=1;i<=m;i++)
h[1][i]=1,L[1][i]=l[1][i],R[1][i]=r[1][i];
for(int i=2;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
if(mapp[i][j]^mapp[i-1][j]){
h[i][j]=h[i-1][j]+1;
L[i][j]=max(l[i][j],L[i-1][j]);
R[i][j]=min(r[i][j],R[i-1][j]);
}
else{
h[i][j]=1;
L[i][j]=l[i][j];
R[i][j]=r[i][j];
}
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