MATLAB矩阵变换

目录

对角阵与三角阵

1、对角阵

（1）提取矩阵的对角线元素

(2)构造对角阵

 2、三角阵

(1)上三角阵

(2)下三角阵

矩阵的转置与旋转

1、矩阵的转置

2、矩阵的旋转

3、矩阵的左右翻转

4、矩阵的上下翻转

矩阵的逆与伪逆

1、矩阵的逆

2、矩阵的伪逆

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矩阵变换是指对一个矩阵进行某种运算与处理，其结果还是一个矩阵，包括求矩阵的对角阵、三角阵、转置矩阵、旋转矩阵、矩阵求逆等。

对角阵与三角阵

1、对角阵

在研究时，很多时候需要将矩阵的对角线元素提取出来形成一个列向量，而有时又需用一个列向量构造一个对角阵。

（1）提取矩阵的对角线元素

函数diag(A)用于提取矩阵A主对角线元素，产生一个具有min(m,n)个元素的列向量。此外函数diag(A,k)用于提取矩阵A第k条对角线的元素，主对角线往上为正，主对角线往下为负。

>> A=[1,2,3;4,5,6]

A =

     1     2     3
     4     5     6

>> D=diag(A)

D =

     1
     5

>> D1=diag(A,1)

D1 =

     2
     6
 
>> D2=diag(A,-1)

D2 =

     4

(2)构造对角阵

V是具有m个元素的向量，diag(V)产生一个以V为主对角线的方阵。此外函数diag(V,k)产生一个以V为第k条对角线的方阵。

>> diag([1,2,3,4])

ans =

     1     0     0     0
     0     2     0     0
     0     0     3     0
     0     0     0     4

>> diag(1:2,-1)

ans =

     0     0     0
     1     0     0
     0     2     0

>> diag(1:3,3)

ans =

     0     0     0     1     0     0
     0     0     0     0     2     0
     0     0     0     0     0     3
     0     0     0     0     0     0
     0     0     0     0     0     0
     0     0     0     0     0     0

 2、三角阵

(1)上三角阵

函数triu(A)用于产生矩阵A对应的上三角阵。函数triu(A,k)用于求矩阵A的第k条对角线以上的元素。

>> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]

A =

     1     2     3
     4     5     6
     7     8     9

>> triu(A)

ans =

     1     2     3
     0     5     6
     0     0     9

>> triu(A,1)

ans =

     0     2     3
     0     0     6
     0     0     0

(2)下三角阵

函数tril(A)和tril(A,k)用于提取矩阵A对应的下三角阵。

>> tril(A)

ans =

     1     0     0
     4     5     0
     7     8     9

>> tril(A,-1)

ans =

     0     0     0
     4     0     0
     7     8     0

矩阵的转置与旋转

1、矩阵的转置

转置运算符是小数点后面接单引号(.') 

共轭转置运算符是单引号(')

>> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]

A =

     1     2     3
     4     5     6
     7     8     9

>> A.'

ans =

     1     4     7
     2     5     8
     3     6     9

>> [1,2,5;6,8,4;-1,0,9].'

ans =

     1     6    -1
     2     8     0
     5     4     9

>> B=[2,3+4i;2-7i,i]

B =

   2.0000 + 0.0000i   3.0000 + 4.0000i
   2.0000 - 7.0000i   0.0000 + 1.0000i

>> B'

ans =

   2.0000 + 0.0000i   2.0000 + 7.0000i
   3.0000 - 4.0000i   0.0000 - 1.0000i


>> A'

ans =

     1     4     7
     2     5     8
     3     6     9

2、矩阵的旋转

函数rot90(A,k)将矩阵A旋转90°的k倍，当k为1时，可以省略。

>> A=[57,19,38;-2,31,8;0,84,5]

A =

    57    19    38
    -2    31     8
     0    84     5

>> rot90(A)

ans =

    38     8     5
    19    31    84
    57    -2     0

>> rot90(A,2)

ans =

     5    84     0
     8    31    -2
    38    19    57

>> rot90(A,-1)

ans =

     0    -2    57
    84    31    19
     5     8    38

3、矩阵的左右翻转

函数fliplr(A)将矩阵A左右翻转，将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，以此类推

A =

    57    19    38
    -2    31     8
     0    84     5

>> fliplr(A)

ans =

    38    19    57
     8    31    -2
     5    84     0

4、矩阵的上下翻转

函数flipud(A)将矩阵A上下翻转，将原矩阵的第一行和最后一行调换，第二行和倒数第二行调换，以此类推

A =

    57    19    38
    -2    31     8
     0    84     5

>> flipud(A)

ans =

     0    84     5
    -2    31     8
    57    19    38

矩阵的逆与伪逆

1、矩阵的逆

函数inv(A)用于求方阵A的逆矩阵

>> A=[1,-1,1;5,-4,3;2,1,1]

A =

     1    -1     1
     5    -4     3
     2     1     1

>> B=inv(A)

B =

   -1.4000    0.4000    0.2000
    0.2000   -0.2000    0.4000
    2.6000   -0.6000    0.2000

>> B*A

ans =

    1.0000    0.0000   -0.0000
   -0.0000    1.0000    0.0000
    0.0000   -0.0000    1.0000

>> A*B

ans =

    1.0000    0.0000    0.0000
   -0.0000    1.0000    0.0000
   -0.0000    0.0000    1.0000

2、矩阵的伪逆

如果矩阵A不是一个方阵，或者A是一个非满秩的方针时，矩阵A没有逆矩阵，但可以找到一个与A的转置A' 同型的矩阵B，使得

   

此时称矩阵B为矩阵A的伪逆，也称广义逆矩阵。

函数pinv(A)用于求矩阵A的伪逆

>> A=[0,0,0;0,1,0;0,0,1]

A =

     0     0     0
     0     1     0
     0     0     1

>> pinv(A)

ans =

     0     0     0
     0     1     0
     0     0     1

>> A=[3,1,1,1;1,3,1,1;1,1,3,1]

A =

     3     1     1     1
     1     3     1     1
     1     1     3     1

>> B=pinv(A)

B =

    0.3929   -0.1071   -0.1071
   -0.1071    0.3929   -0.1071
   -0.1071   -0.1071    0.3929
    0.0357    0.0357    0.0357