不用电的计算机（二）
上一篇讲到最早的计算机是什么样的，有人可能会不服气，咱们中国的算盘才应该是计算机的祖宗才是啊。算盘应该算得上是一种计算工具，可以类比到现代计算机的存储，真正做运算的实际上还是人脑。最早的计算机实际上只能做一些简单的加减乘除运算，只能叫计算器，跟现在的计算机（俗称电脑）还差的很远。但是，今天说到的差分机比前面讲到的就更接近现代计算机了。
差分机的诞生
从17世纪到20世纪，计算器从手摇演变成了电动。但是整整三百年期间，计算器仍只能做最简单的四则运算，需要人力不断的记录计算结果，然后做下一步的运算。这种繁琐的人工操作能不能也交给机器来完成呢？第一个用实际行动验证这一想法的，是来自英国的旷世奇才——查尔斯·巴贝奇（Charles Babbage）。
差分机的设想，最早由一位名为约翰·赫尔弗里奇·冯·米勒（Johann Helfrich von Müller）的德国工程师在1784年提出，但他没有得到资金支持。
18世纪末，法兰西发起了一项宏大的计算工程——人工编制《数学用表》，这在没有先进计算工具的当时，是件极其艰巨的工作。法国数学界调集大批数学家，组成了人工手算的流水线，算得天昏地暗，才完成了17卷大部头书稿。即便如此，计算出的数学用表仍然存在大量错误。
巴贝奇在他的自传《一个哲学家的生命历程》里，写到了大约发生在1812年的一件事：
有一天晚上，我坐在剑桥大学的分析学会办公室里，神志恍惚地低头看着面前打开的一张对数表。一位会员走进屋来，瞧见我的样子，忙喊道："喂！你梦见什么啦？" 我指着对数表回答说："我正在考虑这些表也许能用机器来计算！"
巴贝奇耗费了整整十年光阴，于1822年完成了第一台差分机，它可以处理3个不同的5位数，计算精度达到6位小数，当即就演算出好几种函数表。第二台由英国政府出资的运算精度为20位的大型差分机差分机一号（Difference Engine No.1）由于当时的制造工艺落后等问题最终未能完成。1849年巴贝奇提出支持31位、7次差分的差分机2号（Difference Engine No.2）方案，却在有生之年只实现了很小一部分。
为什么叫差分机
差分机这个名字，源自其所使用的算法，是帕斯卡在1654年提出的差分思想：n次多项式的n次数值差分为同一常数。
我们来看一个一次多项式的例子，其中 Δƒ(x) = ƒ(x+1) - ƒ(x)
我们再来看一个二次多项式的例子，其中 Δ1ƒ(x) = ƒ(x+1) - ƒ(x)，Δkƒ(x) = Δk-1ƒ(x+1) - Δk-1ƒ(x)
具体证明过程我也没能找到，大学学的数学都还给老师了。。。有知道证明过程的可以在评论区告诉我。
利用差分的方法，可以轻易把复杂高阶多项式的值通过重复进行加减法来计算。下面以一个二次多项式为例：
首先人工计算出 ƒ(1)、 Δ1ƒ(1)和 Δ2ƒ(1)的值，根据定义，有：
ƒ(2) = ƒ(1) + Δ1ƒ(1) , Δ1ƒ(2) = Δ1ƒ(1) + Δ2ƒ(1) , Δ2ƒ(2) = Δ1ƒ(2)
ƒ(3) = ƒ(2) + Δ1ƒ(2) , Δ1ƒ(3) = Δ1ƒ(2) + Δ2ƒ(2) , Δ2ƒ(3) = Δ1ƒ(2)
ƒ(4) = ƒ(3) + Δ1ƒ(3) , Δ1ƒ(4) = Δ1ƒ(3) + Δ2ƒ(3) , Δ2ƒ(4) = Δ1ƒ(3)
...
以此类推，可以不断地计算出后面的ƒ(x)的值。同理，更高阶的多项式也可以通过类似的方式求得：
差分机是怎么工作的
要使用差分法来计算多项式，那么机器必须能够完成以下功能：
- 输入并保存ƒ(1)、Δ1ƒ(1)、Δ2ƒ(1)、Δ3ƒ(1) ...
- 计算 ƒ(k) + Δ1ƒ(k)、Δ1ƒ(k) + Δ2ƒ(k)、Δ2ƒ(k) + Δ3ƒ(k) 并保存和输出结果
- k = k+1 , 重复第二步
存储单元
差分机通过一系列同轴齿轮来存储数字，每个齿轮可以存储10个数，最高可以存储31位的十进制数。
差分机最多可以存储8个数，最高能计算7次方的多项式
计算
并行化算法
跟早期的计算器类似，差分机也是通过齿轮的转动进行加减法。巴贝奇先把串行的计算流程并行化。未优化的差分法每次运算只能计算一次加法，对于7阶计算需要运算7步才能得到结果
对于机械设计而言，串行控制远比并行控制成本更高，因为下一个运算必须要等待上一个运算结束，巴贝奇通过并行化将7步简化成了2步：
首先，简化后的步骤需要人工计算更多的数字，这对于提升的性能而言显然是值得的，下面以7阶计算为例：
第一步，将第1个数和第2个数、第3个数和第4个数、第5个数和第6个数、第7个数和第8个数相加：
第一步计算结束后更新第1、3、5、7个数：
第二步，将第2个数和第3个数、第4个数和第5个数、第6个数和第7个数相加：
第二步结束后，更新第2、4、6个数：
继续上述两个步骤，就可以源源不断地计算出ƒ(x)的值。
整个流程看起来是这样的，值得注意的是，现在这几个存储里面的x值并不相同，但是这并不影响计算。
计算和进位
每个齿轮都有4组从0到9的数字，每个0跟9的交界处会有一个突起用来提醒进位
进位装置
进位这里不进行细述，有兴趣的可以通过引用里的链接了解更多。
两个齿轮可以简单完成加法操作，只需要先分开两个齿轮，把第二个齿轮转到到需要加的值，合拢两个齿轮，顺时针转动第二个齿轮转到0，第一个齿轮就会自动加上第二个齿轮的数字。
但是这个方法有个问题，转动后第二个齿轮的数字就已经丢失了，所以巴贝奇在中间加了第三个扇形轮：
这个扇形轮有三种模式：咬合两个齿轮、只咬合第二个齿轮和两个齿轮都不咬合。在进行累加时，扇形轮与两个齿轮咬合，在转动第二个齿轮的时候会带动第一个齿轮进行累加；完成运算后，扇形轮抬起只与第二个齿轮咬合，带动第二个齿轮恢复到原来的数字。
因为篇幅有限，本文先讲到这里，感兴趣的可以通过后面的链接来了解更多。最后，大家可以通过这个视频来感受一下差分机的精妙：https://www.bilibili.com/video/BV1MW41177yh/?spm_id_from=autoNext。在下一篇，我们将会进入电气时代，了解下真正的现代电子计算机。
引用：
https://xueqiu.com/3993902801/81799392
https://zhuanlan.zhihu.com/p/107462919
https://www.bilibili.com/video/BV1rt4y1S77M?spm_id_from=333.999.0.0
https://www.bilibili.com/video/BV1mt411C7gw?p=1
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%AE%E5%88%86%E6%A9%9F
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