回来讲道题

我们看题目:

已知函数 f(x)=xeaxex,当 x>0 时,f(x)<1,求 a 的取值范围。

这道题很有意思。

首先,我们上来考虑进行分离变量

a<lnex1xx,x>0

嘶。不太现实。

所以,我们考虑直接证明

F(x)=xeaxex+1,x>0

F(x)<0

易得 F(0)=0

到了这一步,局势有些明朗了。观察以上条件,猜想通过导数分析恒小于零。

求导:F(x)=eax+axeaxex

导数的正负性依然不好求,但是我们可以一眼盯出:

F(0)=0

如果导数恒小于零,那么原命题成立,所以这里考虑求二阶导,讨论导数的单调性:

F(x)=2aeax+a2xeaxex

乍一看,似乎更复杂了,不过其实答案已经近在眼前:

F(0)=2a1

这里,假如 F(0)>0

那么 F(x) 必然存在一个从 0 开始的单调增区间,

使得该区间中 F(x)>0

那么 F(x) 就也会有一个单调增区间,

使得该区间中 F(x)>0

于是原命题就不成立

而如果,F(0)0

以上均不会发生

所以,就有 2a10,a12

但是!这里就结束了吗?不!还要继续进行讨论。

因为我们只讨论了二阶导的自变量取 0 时的情况,却没有讨论自变量为正的情况。

通过上面的讨论,我们确实是确保了原函数不会一上来就大于零,但是却没有确保后面会不会。

保不齐后面二阶导突然抽风噌噌噌往上窜,带着一阶导大于零,然后把原函数也拉的大于零

所以,为了逻辑完整,我们需要验证:在 a12 的情况下,原命题成立。

易得 eaxex2

从而得到 F(x)xex2ex+1

故只需证:

xex2ex+1<0

G(x)=xex2ex+1

求导可得:G(x)=ex2(1+x2ex2)

然后呢,有个东西叫经典不等式:x+1ex

1+x2ex2<0

G(x)<0

函数 G(x)(0,+) 上单调递减。

又因为 G(0)=0

G(x)<0

得证。

故,a(,12]

确实是一道考验注意力的题呢(笑)

posted @   MornHus  阅读(32)  评论(0编辑  收藏  举报
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