回来讲道题
我们看题目:
已知函数
这道题很有意思。
首先,我们上来考虑进行分离变量:
嘶。不太现实。
所以,我们考虑直接证明:
令
且
易得
到了这一步,局势有些明朗了。观察以上条件,猜想通过导数分析恒小于零。
求导:
导数的正负性依然不好求,但是我们可以一眼盯出:
如果导数恒小于零,那么原命题成立,所以这里考虑求二阶导,讨论导数的单调性:
乍一看,似乎更复杂了,不过其实答案已经近在眼前:
这里,假如
那么
使得该区间中
那么
使得该区间中
于是原命题就不成立。
而如果,
以上均不会发生。
所以,就有
但是!这里就结束了吗?不!还要继续进行讨论。
因为我们只讨论了二阶导的自变量取
通过上面的讨论,我们确实是确保了原函数不会一上来就大于零,但是却没有确保后面会不会。
保不齐后面二阶导突然抽风噌噌噌往上窜,带着一阶导大于零,然后把原函数也拉的大于零。
所以,为了逻辑完整,我们需要验证:在
易得
从而得到
故只需证:
令
求导可得:
然后呢,有个东西叫经典不等式:
故
故
函数
又因为
有
得证。
故,
确实是一道考验注意力的题呢(笑)
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】凌霞软件回馈社区,博客园 & 1Panel & Halo 联合会员上线
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】博客园社区专享云产品让利特惠,阿里云新客6.5折上折
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步
· 一个费力不讨好的项目,让我损失了近一半的绩效!
· 清华大学推出第四讲使用 DeepSeek + DeepResearch 让科研像聊天一样简单!
· 实操Deepseek接入个人知识库
· CSnakes vs Python.NET:高效嵌入与灵活互通的跨语言方案对比
· 易语言 —— 开山篇