一元二次方程根的判断

实系数方程

对于一个形如 ax2+bx+c=0 的一元二次方程,我们定义:

delta=b24ac

  • delta>0 时,该方程有两个不相等的实数根。

  • delta=0 时,该方程有两个相等实数根。

  • delta<0 时,该方程有两个复数根,且复数根互为共轭复数

实系数方程有且只有这三种根的情况。

复数根证明:

delta<0

delta>0

Z 为方程的根,则 Z=b±delta2a=b±delta·(1)2a=b±idelta2a

即:

Z=b2a±delta2ai

是共轭复数,实部为:b2a , 虚部为: ±delta2a

虚系数方程

对于一个形如 x2+(a+bi)x+(c+di) 的虚系数方程

  • b=d=0a24c0, 有两个实根

  • b=d=0a24c<0, 有两个共轭复数

  • b0d2abd+b2c=0, 有一个实根一个复数根

  • b0d2abd+b2c0b=0d0, 有两个不共轭复数

以上是虚系数一元二次方程的判别式,我们在使用时通常应先将二次项系数化为 1 方便计算。

该判别式具体证明来自于臧龙光的文章:复系数一元二次方程的根的判别--《数学通报》1981年11期 (cnki.com.cn)

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