简单动态规划：最长上升子序列

什么是最长上升子序列？

最长上升子序列是指，从原序列中按顺序取出一些数字排在一起，这些数字是逐渐增大的，这样的序列的最长长度。

引自kkksc03校长的题面【狗头保命】
看懂了吧？那么，我们如何求一个序列的最长上升子序列呢？
还是DP大法好！

DP实现

以下是代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;//序列长度
int a[5001];//记录序列
int dp[5001];//dp数组
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);//输入不多说
	}
	for(int i=0;i<=n;i++)dp[i]=1;//dp数组初始化
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=i-1;j++){
			if(a[j]<a[i]){
				dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
			}
		}
	}
	int ans=-1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans=max(ans,dp[i]);//遍历出最大值
	}
	cout<<ans;//输出答案
	return 0;
}

dp数组什么用处？
dp[i]表示的是截止到第i个数，最长上升子序列的长度。
dp的主要思想：
首先，如果已有一个上升子序列，后面有一个数比该序列最后一个数要大，我们可以确定这个数能和原序列组成一个更长的上升子序列。这一点需要明确。
a[j]<a[i]就是用来判断是否出现这种情况。
然后就是我们的状转方程：
dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)
在原最长序列长度和后来这个，dp[j]+1之间取一个最大值。
我们就会发现，到了最后，dp数组里的最大值就是最长上升子序列的长度了！
好像也不是很难……
ε=ε=ε=┏(゜ロ゜;)┛

更新

upd on 2023/11/8

解释一下 $O(nlogn)$ 的做法。

定义 $dp[i]$ 为序列中长度为 $i$ 的上升子序列中，可能的最小的末尾元素

从头开始扫一遍原序列，每扫到一个数 $a[i]$ ，判断是不是大于 $dp[i-1]$

若大于，则放在 $dp[i]$

若小于，则往前找，直到找到第一个小于 $a[i]$ 的 $dp[j]$ ，则 $dp[j+1]=a[i]$

找数部分可以二分搜索，故复杂度 $O(nlogn)$

代码略