小波变换复习 （Review on Wavelet Transform）
小波变换复习 （Review on Wavelet Transform）
1. 从 Fourier 到 Wavelet
众所周知，在信号处理领域，Fourier变换是对信号进行时频分析的重要手段。然而从Fourier变换的数学表示即可看出，Fourier变换对信号在整个时域做了积分处理，因此其结果对时域信号在整个时间轴上进行了信息平均。这对于平稳信号来说是可行的，然而对于在时间上具有显著变化的非平稳信号来说，这样的做法显然不能满足我们对信号进行精确分析的要求。我们希望将信号分解到不同频率成分上来研究组成该信号的各频率成分的含量的同时，也能看到在信号的时变过程中，到底在哪一个时间段某一频率成分含量较多。这一需求使得时频分析得以产生。
举例说明如下：
这是一个分段的正弦波信号，通过Fourier变换可以检测到其具有100，200和400Hz三个频率成分（由于信号的截断效应会有一定误差）。但是在频谱图中我们无法知道这三个频率成分在时域中的分布情况。而时频分析可以做到这一点。如下：
从下图小波变换的变换域可以明确的看出不同频率分量的时间分布情况。因此小波变换即是为了弥补Fourier变换对于处理非平稳信号时的不足而产生的时频分析方法。
但是解决这个问题首先出现的方法并非小波变换，而是对Fourier变换的一种改进策略，即短时Fourier变换 (STFT，Short Time Fourier Transform)，又叫加窗Fourier变换（Windowed Fouier Transform）。顾名思义，该方法基于一个很朴素的思想，即为了对每个时间段的频谱进行分析，我们对某个时间段进行加窗函数处理，并不断滑动窗函数，在窗函数的每个位置，对被框定的一段信号进行Fourier变换，如果窗函数相比于信号的变化程度选取的长度合适的话，那么我们可以认为在窗函数所在位置的信号包含的频率成分即为Fourier变换的结果。可以这样理解，即Fourier变换对时间的不敏感只有在信号非平稳性显著的时候才会产生较大的影响，因此通过加窗，我们可以认为短时间信号是相对平稳的，因此可以克服Fourier变换这一缺陷。有点类似数值计算微积分的思路。
这一方法一定程度上解决了Fourier变换的缺陷，但是它也具有很明显的一个缺点：由于窗函数的选取是固定的，因此该方法的有效与否或者说效果好坏依赖于窗函数的尺寸，而这一尺寸的选取又是人为选择的，为了选择合适的窗函数还要对信号具有一定的先验知识。而且，由于窗函数的固定，我们可以想象一段信号，其前段和后段的频率相差很大，那么这时候窗函数的选取应适应前段的信号特征呢？还是适应后段的特征？不论选择前者还是后者，总要牺牲另一段的频率分析精确度。这时STFT固定窗函数的参数这一固有缺陷导致的。因此，小波分析诞生了～
2. 小波分析的思路
小波分析不同于像STFT一样对Fourier变换进行修补和改进，而是按照Fourier变换的数学方法建立的新的信号分析变换理论。
Fourier变换的公式如上，可以看出，所谓Fourier变换在其数学本质上无非是信号与余弦函数在时间轴上的卷积操作（指数为虚数的指数函数根据Euler公式可以展开成三角函数）。根据一般的惯例，我们将信号与之作卷积操作的部分称之为卷积核或核函数， 因此我们可以从频率分解以外的视角来审视Fourier变换，可以将其认为是信号与一个参数可变的核函数的卷积操作，其可变的核函数的参数就是频率。
然而由于余弦函数具有一个不太理想的性质，即它在时域上非时限，这就导致它作为核函数卷积必然要对整个信号时域进行信息的平均化，抹掉了频率中的时间信息。既然频率可变的余弦函数可以作为核函数来进行卷积操作，那么其他函数是否也可用来充当核函数？答案是肯定的，小波函数 即这样的满足条件的卷积核。
小波函数（wavelet function）顾名思义（-et后缀即表示小的含义）应当是时限或近似时限的信号，即信号在原点附近迅速衰减至0。
图为Morlet小波（以法国地球物理学家Morlet命名，Morlet第一次利用可调节尺寸的窗函数对非平稳的地震信号进行分析）的实部及其频域图像
小波函数的定义如上图所示，其中的参数mu和S 分别为平移参数 和尺度参数 ，平移参数控制小波函数的支撑集的位置，即小波函数在何处起作用。而尺度参数控制着小波的宽窄，即其频率成分，相当于Fourier变换余弦函数的频率参数f，从而提取出信号中与该尺度的小波一致的频率成分。
小波变换成立的条件称为小波容许条件（wavelet admissibility condition）。小波变换常记作WT{}或W{}，由变换的表达式可知，小波变换即信号与中心在原点的小波函数的卷积操作。
3. Fourier，STFT，Wavelet 在时-频域的比较
如果将信号的时间轴和频率轴作为x-y轴作二维平面，时域信号，频域信号（Fourier域），STFT和小波变换 的表示如下：
通过上图的表达方式，小波变换的优势显而易见：小波变换可以实现低频处频率细分（导致时间分辨率变粗，但是由于频率低，故影响不大），高频处时域细分（可以更好的捕捉高频特性），从而实现所谓数学显微镜的功能（即多尺度的对信号进行描述）。
4. 海森堡测不准原理与Gabor小波
由上图可以发现，我们对于信号的各种时频分析方法（包括不进行分析，也即时域信号本身），实际上就是在时频图中开窗的过程，为了使得我们的分析在时域和频域都更加精准，我们显然希望窗的面积越小越好。但是窗的面积并不能无限小下去，原因在于时频域之间的制约关系。
我们知道，频域是时域通过Fourier变换得到的，而Fourier变换具有一个很重要的特点，它在时域展布较小的情况下频域展布较大，vice versa。因此考察小波时频域开窗如下：（ 时频域开窗被称为海森堡盒（Heisenberg box））
经过简单的积分即可发现，时域的展布和频域的展布范围确有负相关关系，what’s more，它们的乘积是一个定值，这个乘积即我们的开窗的面积。可以证明，这个面积具有一个下界，这就是著名的海森堡不确定性原理在信号领域的表现。
既然我们已知窗函数应尽可能面积小，而该面积又有一下界，则自然的想法就是找到一个可以达到这一下界的小波变换方法。最后得到结论，Gabor小波变换（即对信号加一个可变尺度的高斯窗函数）可以达到这一下界。（常被称为Gabor滤波器）
二维平面上的Gabor滤波器常被用来作特征提取。关于Gabor滤波器还有一个很有意思的现象：神经生物学研究发现，哺乳动物（以猫为例）的大脑纹状皮质在处理视觉信息时的感知域响应与Gabor滤波器非常相近，实验结果发现以Gabor窗为模型可以拟合大脑视觉系统的二维空间响应。如图：
由于Gabor窗可以最优的降低时频窗面积，从而对时域和频域进行折中，最好的兼顾对信号时频域特征的捕捉。因此可以认为，我们在对与外界的视觉图像的感知中已经达到了最优的策略。而这一切都要归功于漫长的进化。（Thus it seems that an optimal strategy has evolved for sampling images simultaneously in the 2D spatial and spatial frequency domains.）
[ next：Gabor窗的定义和在特征提取中的应用 ]
reference：
- An introduction to Wavelet Transform (slide) Pao-Yen Lin, Digital Image and Signal Processing Lab,
Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University - An Evaluation of the Two-Dimensional Gabor Filter Model of Simple Receptive Fields in Cat Striate Cortex, JUDSON P. JONES AND LARRY A. PALMER, JOURNALOFNEUROPHYSIOLOGY , Vol. 58, No. 6, December 1987.
- Complete Discrete 2-D Gabor Transforms by Neural Networks for Image Analysis and Compression,
JOHN G. DAUGMAN, IEEE TRANSACTIONS ON ACOUSTICS, SPEECH, AND SIGNAL PROCESSING. VOL. 36. NO. 7. JULY 1988
