算法基础

一、什么是算法？

• 　算法（Algorithm）：一个计算过程，解决问题的方法
• 

   

一个算法应该具有以下七个重要的特征：

• ①有穷性（Finiteness）：算法的有穷性是指算法必须能在执行有限个步骤之后终止；
• ②确切性(Definiteness)：算法的每一步骤必须有确切的定义；
• ③输入项(Input)：一个算法有0个或多个输入，以刻画运算对象的初始情况，所谓0个输     入是指算法本身定出了初始条件；
• ④输出项(Output)：一个算法有一个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。没       有输出的算法是毫无意义的；
• ⑤可行性(Effectiveness)：算法中执行的任何计算步骤都是可以被分解为基本的可执行       的操作步，即每个计算步都可以在有限时间内完成（也称之为有效性）；
• ⑥高效性(High efficiency)：执行速度快，占用资源少；
• ⑦健壮性(Robustness)：对数据响应正确。

 

二、时间复杂度：参考链接

1、时间复杂度举例说明

时间复杂度：就是用来评估算法运行时间的一个式子（单位）。一般来说，时间复杂度高的算法比复杂度低的算法慢。

类比生活中的一些时间，估计时间：

现在我们来说说下面这些代码的时间复杂度是多少呢？

print('hello world')
print('hello python')
print('hrllo ssd ')        #O(1)    大O，简而言之可以认为它的含义是“order of”（大约是）。
#
for i in range(n):
    print('hello world')
    for j in range(n):
        print('hello world')   #O(n^2)

for i in range(n):
    for j in range(i):
        print('hrllo owd')   ##O(n^2)
n= 64
while n>1:
    print(n)     #O(log2n)或者O(logn)
    n = n//2

# while的分析思路：
#     假如n = 64的时候会输出：如下图

# 这时候可以发现规律：

2、常见的算法时间复杂度（按照效率）由小到大依次为：

Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n^{2)＜O(n2logn)< Ο(n}3）＜…＜Ο(2^n)＜Ο(n!)

例如：

 

由图中我们可以看出，当 n 趋于无穷大时， O(nlogn) 的性能显然要比 O(n^2) 来的高

一般来说，只要算法中不存在循环语句，其时间复杂度就是 O(1)

而时间复杂度又分为三种：

• 最优时间复杂度 (Best-Case)
• 平均时间复杂度 (Average-Case)
• 最差时间复杂度 (Worst-Case)

最差时间复杂度的分析给了一个在最坏情况下的时间复杂度情况，这往往比平均时间复杂度好计算，而最优时间复杂度一般没什么用，因为没人会拿一些特殊情况去评判这个算法的好坏。

3、如何一眼判断时间复杂度？

• 循环减半的过程-》O(logn)
• 几次循环就是n的几次方的复杂度

三、空间复杂度

空间复杂度：用来评估算法内存占用大小的一个式子

 四、对于递归的简单复习

1、递归最大的两个特点：

• 调用自身
• 结束条件

2、做个小练习来判断一下下面那些函数是递归函数？

3、递归练习1

代码实现

def fun(n):
    if n>0:
      print("抱着",end="")
      fun(n-1)
      print("的我",end="")
    else:
      print("我的小鲤鱼",end="")
fun(4)

递归练习2：汉诺塔问题

解决思路：

假设有n个盘子：

• 1.把n-1个圆盘从A经过C移动到B
• 2.把第n个圆盘从A移动到C
• 3.把n-1个小圆盘从B经过A移动到C

 代码实现：

def func(n,a,b,c):
    if n==1:
        print(a,'-->',c)
    else:
        func(n-1,a,c,b)  #将n-1个盘子从a经过c移动到b
        print(a,'-->',c)  #将剩余的最后一个盘子从a移动到c
        func(n-1,b,a,c)  #将n-1个盘子从b经过a移动到c
n = int(input('请输入汉诺塔的层数：'))
func(n,'柱子A','柱子B','柱子C')

 总结：汉诺塔移动次数的递推式：h(x)=2h(x-1)+1