一篇不大正经的关于数论的总结(未完
顶函数（\(\lceil {x} \rceil\)）、底函数（\(\lfloor {x} \rfloor\)）：
常称之为高斯（取整）函数。
定义：
顶函数：\(\geq {x}\)的最小整数。
底函数：\(\leq {x}\)的最大整数。
举个例子：
\(1.\lceil {1.5} \rceil=2\)
\(2.\lfloor {1.5} \rfloor=1\)
\(3.\lceil {-1.5} \rceil=-1\)
\(4.\lfloor {-1.5} \rfloor =-2\)
带余除法：
定义:
\(对于任意整数a,b（a\geq b,b\neq 0）,\)\(存在q,r,满足a=qb+r（0\leq r \leq |b|）,且q，r唯一\)
我们把a叫做被除数，b叫做除数，q叫做商，r叫做余数。
可以证明\(q=\lfloor \left (\frac {a}{b}\right )\rfloor,r=a-b\lfloor \left(\frac {a}{b} \right)\rfloor\)（证明如下）
\(\because这个是很显然的\)
\(\therefore q=\lfloor \left (\frac {a}{b}\right )\rfloor,r=a-b\lfloor \left(\frac {a}{b} \right)\rfloor\)
整除：
定义：如果\(a\)能把\(b\)除尽，余数为0，那么就说是\(b\)被\(a\)整除，即\(a|b\)。
整除的性质：
- 自反性：对于任意\(n\)，有\(n|n\)。
- 传递性：若\(a|b,b|c\)，那么\(a|c\)。
- 反对称性：若\(a|b,b|a\)，即\(a=b\)。（对称性：若\(a\)满足\(b\cdots\)关系，那么\(b\)也满足\(a\cdots\)关系）
- 若\(b|a,c|b\)，则\(c|a\)。（证明如下）
\(\because b|a,c|b\)
\(\therefore（所以必然存在两个整数x，y）使得a=xb\)，\(b=yc\)
\(又\therefore a=xyc\)
\(\because a/c=xy\)
\(\therefore c|a\)
- 若\(c|a,c|b\)，则对任意数\(x,y\)，必有\(c |（ax+by）。\)（证明如下）
\(\because c|a,c|b\)
\(\therefore （所以必然存在两个整数p，q）使得a=pc\)，\(b=qc\)
\(又\therefore c |（pcx+qcy）\)
\(c|c（px+qy）\)
\(\because 两边都有c\)
\(\therefore c（px+qy）是c的倍数\)
\(又\therefore c|(ax+by)\)
- 若\(b|a,a\neq 0\)，则有\(|b| \leq |a|\)。（证明如下）
\(\because b|a\)
\(\therefore （所以必然存在一个整数q）使得a=qb\)
\(又\therefore a是b的倍数，|b| \leq |a|\)。
- 若\(b|a,a\neq 0\)，则\(\left( \frac ab \right)|a\)。（证明如下）
\(\because b|a\)
\(\therefore （所以必然存在一个整数q）使得a=qb\)
\(又\therefore \left( \frac {a}{b} \right)=\left( \frac {qb}{b} \right)=q\)
\(\because a是q的倍数\)
\(\therefore q|a\)
\(又\therefore \left(\frac{a}{b}\right)|a\)
- 若\(b|a,c|a,b\bot c\)，则\(bc|a\)。（举例如下）
\(1.当a=12,b=1,c=6时，1|12,6|12,1\bot12,6|12。\)
\(2.当a=72,b=8,c=9时，8|72,9|72,8\bot9,72|72。（自反性：72|72）\)
- 若\(a|b,b|a\)，则\(|a|=|b|\)。（反对称性）
- 若\(a|b\)，对任意整数\(c\)，则\(a|bc\)。（证明如下）
\(\because a|b\)
\(\therefore b=xa，b是a的倍数\)
\(又\therefore乘上任意整数c，bc依旧是a的倍数\)
\(又\therefore a|bc\)
- 若\(a|b\)，对于任意整数\(m（m\neq0）\)，则\(ma|mb\)。（证明如下）
\(\because 这是显然的\)
\(\therefore ma|mb\)
唯一分解定理（算术基本定理）：
\(n=p_1^{r_1}*p_2^{r_2}*\cdots\)
其中\(p_i\)是质数，\(p_1=2,p_2=3 \cdots\)以此类推
结论：
设\(p\)为质数，对于任意整数\(a\)，则有\(p|a\)或者\((p,a)=1\)。（证明如下）
\(\because p为质数\)
$\therefore a要么是p的倍数，要么p\perp a。 \( \)又\therefore p|a或者(p,a)=1$
约数和倍数：
推论：
在算术基本定理中，若\(N\)被唯一分解为\(N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}\cdots p_m^{c_m}\),其中\(c_i\)是正整数，\(p_i\)是质数且满足\(p_1<p_2<\cdots p_m\),则\(N\)的正整数集合可写作\(：\)
define N 10086
int a[N];
int n;
int cnt=0;
int main(void) {
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n;
//clock_t start = clock();
for(int i=1; i<=sqrt(n); ++i) {
if(n%i==0) {
a[++cnt]=i;
if(n/i!=i) a[++cnt]=n/i;
}
}
for(int i=1; i<=cnt; ++i) cout<<a[i]<<" ";
//clock_t ends = clock();
//cout<<"\n Running time: "<<(double)(ends - start)/ CLOCKS_PER_SEC;
return 0;
}
如果更改题意，给出$l,r$，要求求$l-r$之间的每个数的正约数集合。那么再用试除法，时间复杂度就为$O(N\sqrt{N})$，变得有点恶心，特别是在$N$非常大的时候。譬如跑$1-100000$。
消耗的时间如下：
运行代码如下：
```cpp
#include"bits/stdc++.h"
#include<time.h>
using namespace std;
#define N 10086
int a[N];
int n;
int cnt=0;
int l,r;
int main(void) {
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>l>>r;
clock_t start = clock();
for(int j=l; j<=r; ++j) {
memset(a,0,sizeof(a));
cnt=0;
// cin>>n;
for(int i=1; i<=sqrt(j); ++i) {
if(j%i==0) {
a[++cnt]=i;
if(j/i!=i) a[++cnt]=j/i;
}
}
for(int i=1; i<=cnt; ++i) cout<<a[i]<<" ";
cout<<"\n";
}
clock_t ends = clock();
cout<<"\n Running time: "<<(double)(ends - start)/ CLOCKS_PER_SEC;
return 0;
}
这个时候就要用到另一种方法。即：
2.倍数法：
对于任意数\(x\)，\(1-N\)中以\(x\)为约数的数就是\(x,2x,3x\cdots \lfloor N/x \rfloor*x\)。时间复杂度为\(O(N \lg N)\)
消耗时间如下：
代码如下：
#include"bits/stdc++.h"
#include<time.h>
using namespace std;
#define N 100860
vector<int> a[N];
int n;
int main(void) {
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n;
clock_t start = clock();
for(int i=1; i<=n; ++i)
for(int j=1; j<=n/i; ++j)
a[i*j].push_back(i);
for(int i=1; i<=n; ++i) {
for(int j=0; j<a[i].size(); ++j) {
cout<<a[i][j]<<" ";
}
cout<<"\n";
}
clock_t ends = clock();
cout<<"\n Running time: "<<(double)(ends - start)/ CLOCKS_PER_SEC;
return 0;
}
GCD和LCM：
定义：
1.设\(a\)和\(b\)是两个整数，如果\(d|a\)且\(d|b\)，则称\(d\)是\(a\)与\(b\)的公因子。
2.设\(a\)和\(b\)是两个不全为\(0\)的整数，能使\(d|a\)和\(d|b\)成立的最大整数\(d\)，称它为\(a\)与\(b\)的最大公因子，或最大公约数，即\(gcd(a,b)\)。
3.设\(a\)和\(b\)是两个不全为\(0\)的整数，能使\(a|d\)和\(b|d\)成立的最小整数\(d\)，称它为\(a\)与\(b\)的最小公因子，即\(lcm(a,b)\)。
例题：
如果我们把\(A\)分解成了\(2^{a_1}3^{a_2}5^{a_3}\cdots\)，把\(B\)分解成了\(2^{b_1}3^{b_2}5^{b_3}\cdots\)如何快速求\(gcd(A,B)\)。（解如下）
\(\because 假设d=gcd(A,B)\)
\(\therefore d|A,d|B,d最大\)
\(d=2^{p_1}3^{p_2}5^{p_3}\cdots\)
\(\therefore p_1 \leq a_1,p_1 \leq b_1\)
\(p_2 \leq a_2,p_2 \leq b_2\)
\(\cdots\)
\(p_1=min(a_1,b_1),p_2=min(a_2,b_2),\cdots\)
\(又\therefore d=2^{min(a_1,b_1)}3^{min(a_2,b_2)}\cdots\)
2.如何快速求\(lcm(A,B)\)。（解如下）
\(把min换成max即可\)
\(\because 设c=lcm(A,B)\)
\(\therefore c=2^{max(a_1,b_1)}3^{max(a_2,b_2)}\cdots\)
\(gcd(A,B)*lcm(A,B)=A*B=c*d\)
欧几里得算法：
即辗转相除法。时间复杂度为\(O(\lg n)\)。
求\(gcd\)（给出\(a,b\)）：
\(引理：若a>b,则gcd(a,b)=gcd(a-b,b)\)
\(证：1.显然a-b,b的公因数也是a,b的公因数。\)
\(2.a,b的公因数也肯定是a-b,b的公因数。\)
\(3.a,b的公因数集合与a,b的一模一样，最大的当然也一样。（更相减损术）\)
\(所以解得gcd(a,b)=gcd(a, a\bmod b)=gcd(a\bmod b,b)\) \(↰\)
\(↑\)
再证明一下上面的式子？\(↑\)
\(设c(a,b)表示a,b的所有公因数的集合，则gcd(a,b)是r(a,b)中最大的。\)
\(先尝试证明：a>b时,gcd(a,b)=gcd(a,a-b)(过程在上面)\)
\(要证这个，只需证r(a,b)=r(a,a-b)\)
\(假设d是a,b的公因数\)
\((那么必然存在两个整数p,q)使得a=pd,b=qd→d(p-q)=a-b\)
\(a,b的公因数肯定是a,a-b的公因数,反之成立\)
\(gcd(a,b)=gcd(a,a\bmod b)(一直减一个数，余下的便是a\bmod b的余数)\)
\(举例:\)
\(a=20,b=3\)
\(即gcd(20,3)→(17,3)→(14,3)→(11,3)→(8,3)→(5,3)→(2,3)\)
Code：
inline int gcd(int a,int b){
if(b==0) return a;
return gcd(b,a%b);
//return b==0 ? a : gcd(b,a%b);
}
一条性质：
记\(f[n]\)为斐波那契数列的第\(n\)项，则有\(gcd(f[a],f[b])=f(gcd[a,b])\)。
计算\(lcm\)：
\(lcm=a/gcd(a,b)*b\)
错误做法：
\(lcm=a*b/gcd(a,b)\)（会爆int）
互质：
若\(gcd(a,b)=1\)，那么\(a\perp b\)。
基本定理：
1.对于任意两个质数\(n,m\)，\(n\perp m\)。
2.对于任意两个相邻的整数\(n,m\)，\(n\perp m\)。
3.若\(a=1\)，对于任意一个自然数\(m\)，\(a\perp m\)。
4.一个质数\(m\)，一个合数\(n\)，若\(n\)不是\(m\)的倍数，\(n\perp m\)。
同余：
定义：
若两个整数\(a,b\)，且它们的差\(a-b\)能够被某个自然数\(m\)所整除，则称\(a\)与\(b\)对模\(m\)同余。记作\(a\equiv b(\bmod m)\),若\(m\)的值可以由上下文推出时，简写为\(a\equiv b\)。
性质：
1.自反性：\(a\equiv a\)。
2.对称性：若\(a\equiv b\)，则%b\equiv a%。
3.传递性：若\(a\equiv b,b\equiv c\)，则\(a\equiv c\)。
4.同加性：若\(a\equiv b\)，则\(a+c\equiv b+c\)。
5.同乘性：（1）若\(a\equiv b\)，则\(a*c\equiv b*c\)。
（2）若\(a\equiv b,c\equiv d\),则\(a*c\equiv b*d\)。
6.同幂性：若\(a\equiv b\),则\(a^n\equiv b^n\)。
7.同余式相加：若\(a\equiv b,c\equiv d\)，则\(a\pm c\equiv b\pm d\)。
8.同余式相乘：若\(a\equiv b,c\equiv d\)，则\(ac\equiv bd\)。
以上性质都是很显然的。
容斥原理：
基本思想：
在计算的时候，总是会有遗漏或者是重复计算的部分，为了使重复计算的部分不被重复计算，可以先算出所有可能，然后再把重复计算的部分减去。
举例：
假设某虎有\(A\)个妹子，cgp有\(B\)个妹子，他们想要知道他们一共有多少个不同的妹子（每个人都有很多，总会有相同妹子）。
先用两个圆圈表示出每个人所拥有的妹子。
then。
那么红色的部分代表的是两个人都有的妹子。
如何计算他们俩一共有多少种不同的妹子？
就需要先把他俩所拥有的妹子加起来，然后再减去红色的部分都有的妹子，就是所求。
则\(A\cup B=A+B-A\cap B\)。
那么再假设某虎依旧有\(A\)个妹子，cgp依旧也有\(B\)个妹子，突然sjp来了，sjp也有妹子，sjp突然也对这产生兴趣，于是某虎有\(A\)个妹子，cgp有\(B\)个妹子，sjp有\(C\)个妹子，他们想要知道他们一共有多少种不同的妹子（每个人都有很多，总会有相同妹子）。
那么我们先用三个圆圈表示出每个人所拥有的妹子。
then。
那么蓝色的部分代表的是三个人都有的妹子，绿色的部分代表的是某虎和cgp都有的妹子，橙色的部分代表的是cgp和sjp都有的妹子，紫色部分代表的是某虎和sjp都有的妹子。
那么如何计算他们仨一共有多少种不同的妹子？
就需要先把他们仨所拥有的妹子都加起来，然后再减去绿色的，紫色的，橙色的部分相同的妹子，最后再加上蓝色的部分的妹子，就是所求。
则\(A\cup B\cup C=A+B+C-A\cap B-A\cap C-B\cap C+A\cap B\cap C\)。
