拟合（Fitting）

提取完边缘后如何使用数学模型来描述边缘？
例如：在桌子上有几枚硬币，在经过边缘提取后，需要描述出硬币的圆心坐标和圆的大小

难点

1. 噪声：噪声的存在使拟合的模型偏离真实的线
2. 外点：在目标图形以外的线，如上图中的目标图形为“车”，左边的“栅栏”就是外点
3. 目标图形部分被遮挡，使部分图形消失

最小二乘（Least Square）

针对点都在线上的一些简单模型

• 最小二乘

能量函数\(E\)描述的是所有的点与拟合的线在\(y\)方向上的差值的和，最后的目标是求出差值最小时的\((m,b)\)即矩阵\(B\)作为这个模型的解

• 权最小二乘
  当拟合的直线是平行\(y\)轴时就无法按照上面的公式计算\(E\)（最小二乘对旋转没有效果）

  

权最小二乘将点在\(y\)方向的距离改为对直线距离的平方，就可以避免旋转产生的问题
，它的几何描述就是所有的向量\((x_i-\bar x,y_i-\bar y)\)在向量\((a,b)\)的投影的值最小

• 极大似然估计

  使用概率分布的思想来理解权最小二乘，概率越大拟合效果越好，极大似然估计，就是利用已知的样本结果信息，反推最具有可能（最大概率）导致这些样本结果出现的模型参数值，它提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”。

如果通过极大似然估计，得到模型中参数\(\mu\)和\(\sigma\)的值，那么这个模型的均值和方差以及其它所有的信息我们就知道了。

Roubst Fitting & RANSAC

当存在外点时，普通的（权）最小二乘就无法很好的拟合模型

Roubst fitting（鲁棒拟合）

通过函数\(\rho(u;\sigma)\)将点到直线的距离\(u\)在较大的范围时对直线影响的贡献值缩小，\(\sigma\)为设置的参数，当参数越小对所取的预拟合模型的区域越小，例如当\(\sigma=0.1\)时，对超过2以后的区域几乎就不做考虑了

• 鲁棒函数估计

1. 对于一个非线性的优化问题就不能使用前面的方程求解，需要使用迭代的方式求解类似于梯度下降
2. 先不考虑鲁棒拟合的问题，利用最小二乘得到一个初始解
3. 根据经验将尺度参数\(\sigma\)设置成\(1.5\)倍的平均残差

• 处理后的效果

RANSAC（随机采样一致性）

当存在许多的点都不在模型上，或者是图片被遮挡，这种时候就需要使用较少的点来拟合出模型

• RANSAC

1. 选择一个最小的集合\(s\)（估计一条直线需要两个点）
2. 拟合出一个模型
3. 设置一个门限\(t\)
4. 用门限\(t\)内剩余的点给这个模型“投票”，即“离得近”就 得分
5. 重复上述过程，取“得分”最高的模型,设置迭代次数\(N\)

• 选择参数

\(e\)：外点率，\(s\)：模型的最小范围，\(N\)：最大迭代次数，\(p\)：正确率

• 自适应的参数提取
  在实际问题中，只知道参数\(t,s\),无法知道外点率\(e\)也就无法确认迭代次数\(N\)。
  解决方法如下：
  

• 使用RANSAC思想进行指纹识别

霍夫变换（Hough Transfrom）

于对存在大量的线的模型，即使设置了较小的门限也无法有效的区分“谁是谁的内点”

主要的改进策略：将点不在是对某一条直线投票，将投票离散化，使图像空间对参数空间进行转换

图像空间的一条直线在参数空间是一个点，参数空间多条线的交点是图像空间的边

如果使用直角坐标那么参数范围不好界定，穷举就很困难，例如当图像空间的一条竖直方向的直线，此时\(x\)取定值，\(y\)取任意值，在参数空间中就无法表示；在训练过程中也无法给\(m,b\)划分范围。

使用极坐标系问题就解决了：极坐标的\(\theta\)可以取\([0 ,180]\)，可以完整的与图像空间对应

• 一些例子

• 霍夫变换处理噪声

  在Candy算子中得到点时就知道了梯度方向，相应的边缘方向的范围就大概确认了，这是就是可以缩小\(\theta\)的范围，从而解决了噪声的影响，也简化了计算
  

• 霍夫变换拟合圆

  确定一个圆需要圆心坐标\((x, y)\)和半径\(r\)，有三个参数，参数空间就需要是一个三维空间，取圆上的一个点，则可以由梯度方向确定半径方向，穷举所用的\(r\)(大于0，小于图像长度)，遍历圆上的点对\(r\)进行投票，最后在参数空间会得到一个票数高的三维空间，这个三维空间的中的一点\((x,y,r)\)就可以作为拟合的圆心和半径。
  

学习资源：北京邮电大学计算机视觉——鲁鹏