线性代数 · 矩阵 · Matlab | Moore-Penrose 伪逆矩阵代码实现

背景 - Moore-Penrose 伪逆矩阵：

• 对任意矩阵 $A\in {\mathbb{C}}^{m\times n}$ ，其 Moore-Penrose 逆矩阵 $A^{+}\in {\mathbb{C}}^{n\times m}$ 存在且唯一。
  • 定义：若矩阵 G 满足 $AGA=A,GAG=G,(AG{)}^H=AG,(GA{)}^H=GA$ ，则 G 是 Moore-Penrose 逆矩阵，可以记作 $A^{+}$ 。
  • 性质：$A^{+}$ 满足 $A^{++}=A,A^{H+}=A^{+H},$ $\mathrm{rank}(A^{+})=\mathrm{rank}(A),$ $\mathrm{Range}/\mathrm{Null}(A^{+})=\mathrm{Range}/\mathrm{Null}(A^H)$ 。
• $A^{+}$ 求解方法 1（迹方法）：
  • 令 $A_{m\times n}$ 的秩为 r。
  • 计算 $B=A^{T}A$ 。
  • 令 $C_1=I_{n\times n}$ 。
  • for i = 2 to r-1，计算 $C_{i+1}=(1/i)\mathrm{tr}(C_{i}B)I-C_{i}B$ 。
  • 得到 $A^{+}=\frac{r}{\mathrm{tr}(C_{r}B)}{C}^r{A}^T$ 。
• $A^{+}$ 求解方法 2（满秩分解法）：
  • 若 A=FG 是满秩分解，则 $A^{+}=G^H(F^{H}A{G}^H{)}^{-1}{F}^H$ 。

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代码 0（matlab 内置函数）：直接使用 pinv() 函数。

代码 1（满秩分解法）：（fullrank_decompose 代码见 代码存档）

function [B] = moore_penrose_pinv(A)
% using full rank decomposition
 
[m,n] = size(A);
 
[F,G] = fullrank_decompose(A);
B = G'*(F'*A*G')^(-1)*F';
 
end

代码 2（迹方法）：

function [X] = moore_penrose_pinv2(A)
% using trace method
 
[m,n] = size(A);
r = rank(A);
 
B = A'*A;
C = eye(n);
for i = 1:r-1
    C = 1/i*trace(C*B)*eye(n)-C*B;
end
 
X = r/trace(C*B)*C*(A');
 
end

测试代码：

A = [7 12 7 6 9
17 32 18 15 14
14 20 12 14 16
15 16 11 14 18];
 
B = moore_penrose_pinv2(A)

计算结果：

octave:5> source("my_script.m")
B =
 
  -0.175926   0.212037  -0.619907   0.474074
   0.112434  -0.043783   0.226257  -0.223280
   0.041005   0.120503  -0.391601   0.233862
  -0.400794  -0.100397   0.627579  -0.279365
   0.333333  -0.133333   0.066667  -0.066667
 
 
octave:6> source("my_script.m")
B2 =
 
  -0.175926   0.212037  -0.619907   0.474074
   0.112434  -0.043783   0.226257  -0.223280
   0.041005   0.120503  -0.391601   0.233862
  -0.400794  -0.100397   0.627579  -0.279365
   0.333333  -0.133333   0.066667  -0.066667
 

两份代码的计算结果一致，代码正确。