高等数学 | 证明“指数 ≫ 多项式”的一个通式

• 首先，有限项多项式可以放缩成 $f(x)\le M{x}^m$。
• 然后，去证 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{M{n}^m}{a^n}=0$，其中 a＞1。
  • 将 $a^n$ 写作 $(1+b{)}^n$，其中 b＞0。
  • 然后，因为 $(1+b{)}^n=1+nb+C_n^2{b}^2+\cdots +C_n^i{b}^i+b^n$，$C_n^i$ 里面有 n 的 i 次项，$C_n^{m+1}$ 里面有 n 的 m+1 次项。
  • 因此，把 $(1+b{)}^n$ 往小里放缩，放缩成 $C_n^{m+1}{b}^{m+1}$，即可用 n 的 m+1 次项打败分子上的 $M{n}^m$，得到 lim = 0。