高等数学 | 证明“指数 ≫ 多项式”的一个通式

• 首先，有限项多项式可以放缩成 \(f(x)\le Mx^m\)。
• 然后，去证 \(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{Mn^m}{a^n}=0\)，其中 a＞1。
  • 将 \(a^n\) 写作 \((1+b)^n\)，其中 b＞0。
  • 然后，因为 \((1+b)^n=1+nb+C_n^2b^2+\cdots+C_n^ib^i+b^n\)，\(C_n^i\) 里面有 n 的 i 次项，\(C_n^{m+1}\) 里面有 n 的 m+1 次项。
  • 因此，把 \((1+b)^n\) 往小里放缩，放缩成 \(C_n^{m+1}b^{m+1}\)，即可用 n 的 m+1 次项打败分子上的 \(Mn^m\)，得到 lim = 0。