高等数学 | 数列 函数 级数 函数项级数之收敛性(下)


搞定升学面试的收敛性问题,这一篇就够了!

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4 级数之收敛性

  • 级数收敛的定义:部分和序列 {Sn=1nai} 收敛,即 limnSn 存在。
  • 性质:
    • 两个收敛级数逐项相加 / 相减,仍为收敛级数;
    • 对收敛级数的项任意加括号后,所得的级数依然收敛;
    • 去掉、加上、改变有限项后,收敛级数仍然收敛;
    • 收敛的必要条件:limnan=0
  • 绝对收敛 / 条件收敛:
    • 绝对收敛( |an| 收敛)的级数必然收敛。
    • 条件收敛:级数收敛,但不绝对收敛( |an| 发散)。
  • 级数收敛证明方法:
    • 去证部分和序列收敛;
    • 比较法(夹逼 做比等);
    • Leibniz 判敛准则。
  • 级数收敛值的求解:
    • 利用常用函数的 Taylor 展开。

4.1 去证部分和序列收敛

方法:

  • 单调有界原理:对正项级数(所有 an ≥ 0),收敛 部分和序列有上界。(负项级数也一样)
  • Cauchy 收敛准则:收敛 ϵ>0, n0N:|n+1maj|<ϵ
  • 拆项:发现 an(经过适当放缩)可以拆成 SnSn1Sn 极限存在。

例题:

  • an>0Sn=1nai 发散,证明 1[an/Sn2]收敛。
    • anSn2<anSnSn1=anSn(Snan)=1Snan1Sn=1Sn11Sn
    • 所以 1anSn2<a1S12+1S11S2+1S21S3+=a1S12+1S1,收敛。
  • 证明调和级数 11n 发散。
    • 首先,11n=ln(1+x)|x=1=ln0=+,发散。
    • 用 Cauchy 收敛准则证明:对于任意 ε、任意 n>任意 N,设 Sn=1n1i,有 S2nSn=n+12n1i>n2n=12,所以不满足 Cauchy 收敛准则。

4.2 比较法(夹逼 做比等)

方法:

  • 夹逼:
    • bnancn(或仅有有限项不满足该条件),且 bn cn 收敛,则 an 收敛。
    • 若存在 |an|cn(或仅有有限项不满足该条件)且 cn 收敛,则 an 绝对收敛。
  • 做比:正项级数 an bn
    • maxbnan<an 收敛,则 bn 收敛;
    • minbnan>0an 发散,则 bn 发散。
  • 比值 / 根值判别法【常用】:正项级数 an
    • 比值判别法:若 ρ=limnun+1un<1,则 an 收敛;(跟等比数列相比较)
    • 根值判别法:若 ρ=limnunn<1,则 an 收敛;(跟 an 相比较)

4.3 Leibniz 判敛准则【常用】

方法:

  • an 的项正负交替,且绝对值递减( |an+1||an| ),最终趋于 0( limnan=0 ),则 an 收敛。

例题:

  • an=(1)n1np 其中 p>0:满足 ① 正负交替,② 绝对值递减,③ 最终趋于零,所以级数收敛。

5 函数项级数之收敛性

  • 函数项级数:
    • 级数的每一项,都是自变量 x 的函数。
    • 函数项级数 n=1un(x),和函数 S(x)=n=1un(x),部分和函数序列 Sn(x)=k=1nuk(x)

5.1 函数项级数的一致收敛性

一致收敛是很强大的条件。

  • 一致收敛:
    • 定义:在部分和函数序列 {Sn(x)} 的定义域 D 内,对任意 ε>0,存在仅与 ε 有关的正整数 N(ε),当 n>N(ε) 时,|Sn(x)S(x)|<ϵ。关键在于 N 与 x 无关,和函数一致连续的定义一样。
    • 内闭一致收敛:对任意 [a, b] 闭区间 D,{Sn(x)} 在 [a, b] 上一致收敛。
    • 一致收敛 内闭一致收敛。反之推不出来。
    • 点态收敛(普通的收敛):当 x=x0 时,把函数项级数看成数项级数,级数收敛。
  • 一致收敛的强大性质:【重要】
    • 连续性:Sn(x) 连续 S(x) 连续。
    • 逐项求导:ab[un(x)]dx=[abun(x)dx]
    • 逐项积分: un(x)=[un(x)]。(额外要求 ① un(x) 可导,② un(x) 也一致收敛)
  • 一致收敛的判别方法:
    • Weierstrass 判别法【常用】:设每一项 un(x) 满足 |un(x)|an(对任意 x∈D),且 an 收敛,则 Sn 在 D 上一致收敛。即,寻找更强的函数。
    • Abel 判别法:设函数项级数 an(x)bn(x),① bn(x) 在 D 上一致收敛,② {an(x)} 在 D 上一致有界(即一个函数族有共同的上下界),③ 任意 x∈D,{an(x)} 关于 n 是单调的;则 an(x)bn(x) 在 D 上一致收敛。
    • Dirichlet 判别法:设函数项级数 an(x)bn(x),① 任意 x∈D,{an(x)} 关于 n 是单调的,② {an(x)} 在 D 上一致收敛于 0,③ bn(x) 的部分和序列在 D 上一致有界;则 an(x)bn(x) 在 D 上一致收敛。

5.2 幂级数的收敛半径

  • 幂级数:
    • 定义:n=0an(xx0)n
  • 收敛半径:【重要】
    • 使用比值判敛法:比值 = limn|un+1(x)un(x)|=lim|an+1an(xx0)|
    • lim|an+1an|=1R。R 称为收敛半径。R=∞, 则整个定义域上都收敛。R=0,则只有 x=x0 收敛(每项都为 0)。
    • 若 x-x0<R,则幂级数绝对收敛。x-x0>R,幂级数发散。x-x0 = R 需要单独判断。
  • Abel 定理:【常用】
    • (为了书写方便,设 x0 = 0)
    • 若幂级数在 x=x1 收敛,则任意 |x| < |x1| 都绝对收敛。
    • 若幂级数在 x=x1 发散,则任意 |x| > |x1| 都发散收敛。
  • Taylor 展开:
    • Taylor 展开 收敛于原函数的条件:按照幂级数收敛半径算。
  • 幂级数的一致收敛性:
    • 设收敛半径为 R,则幂级数在 (-R, R) 内闭一致收敛,即任意 [r,r](R,R),幂级数在 [-r, r] 一致收敛。
    • 证明:选取 c 满足 r<c<R,anxn=ancn(xc)n,记 un(x)=ancn, vn(x)=(xc)n,则 ① un(x) 在 [-r, r] 一致收敛(式子里根本没出现 x),② vn(x) 一致有界(上下界是 -1 和 1),③ vn(x) 关于 x 单调递增。由 Abel 判别法,幂级数在 [-r, r] 一致收敛。

5.3 例题

  • 判断级数 n=1bn=(1)nnn2n(lnn)αn! 的敛散性。
    • 使用比值判别法:lim|bnbn+1|=lim2[nn+1]n[lnn+1lnn]α=2e11,发散,和 α 无关。
  • limn|an+1an|=2,求级数 n=1an(x+33)n 的收敛半径。
    • 使用比值判别法:lim|bn+1bn|=lim2(x+3)13,所以收敛半径 = 3/2。
  • 判断级数 n=1bn=x1+n3x2 的敛散性。
    • bn=x1+n3x2x2n3x2=12n32(分母均值不等式)。
    • cn=1n32,比值判别法 limncn+1cn=(1+1n)32=lim321n=0,所以收敛。
    • 由 Weierstrass 判别法,我们找到了一个更强的级数 cncn 收敛,所以 bn\R 上一致收敛。
  • 判断 n=p+(1n1n+1)sin(n+k) 的敛散性。
    • 收敛。使用 Weierstrass 判别法,把 sin 放缩成 1 得到更强的级数 n=p+(1n1n+1),然后错位相消。
  • 求级数 n=1nenx 的收敛域与和函数。
    • 换元:转化为幂级数。
      • yn=enxy=ex,转化为幂级数 n=1bn(y)=n=1nyn
    • 收敛域:
      • 比值判别法 bn+1bn=n+1ny<1,得 y<1。判断 y = 1 时,级数为 n=1n 发散,所以确实是 y<1。
      • y=ex<1 即 x>0,所以收敛域为 (0, +∞)。
    • 和函数:
      • 幂级数已经(内闭)一致收敛,所以直接应用逐项求导 / 逐项积分。
      • 1nyn=y1nyn1=y[1yn]=y(y1y)=y(1y)2=ex(1ex)2
  • 证明级数 n=1sinnx2n(,+) 上一致收敛,并且存在 ξ(0,π2),使得 n=1ncosξsinn1ξ2n=2π
    • 一致收敛:
      • Weierstrass 判别法:把 sinx 放成 1,更强的级数 12n 收敛,所以原级数一致收敛。
    • 存在 ξ:
      • 使用一致收敛的逐项求导性质。
      • 首先需要证明导数 n=1ncosxsinn1x2n 一致收敛。
        • Weierstrass 判别法:把 sinx cosx 都放成 1,得到更强的级数 n2n
        • n2n 相当于 nxn|x=12,在收敛半径 R=1 内,所以收敛。
        • 更强的级数收敛,推出导数一致收敛。
      • 使用 Lagrange 中值定理:
        • S(x)=n=1sinnx2n,S(x)=n=1ncosxsinn1x2n
        • 中值定理的条件:① an(x)=sinnx2n[0,π2] 闭区间内连续,使用一致收敛的连续性,推出 S(x) 闭区间连续。② 同理,S(x) 开区间可导(事实上有闭区间可导)。
        • S(0)=0, S(π2)=112n=1。所以存在 ξ(0,π2),使得 S(ξ)=n=1ncosξsinn1ξ2n=S(π2)S(0)π20=2π,得证。

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