高等数学 | 数列 函数 级数 函数项级数之收敛性(下)
搞定升学面试的收敛性问题,这一篇就够了!
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目录
4 级数之收敛性
- 级数收敛的定义:部分和序列
收敛,即 存在。 - 性质:
- 两个收敛级数逐项相加 / 相减,仍为收敛级数;
- 对收敛级数的项任意加括号后,所得的级数依然收敛;
- 去掉、加上、改变有限项后,收敛级数仍然收敛;
- 收敛的必要条件:
。
- 绝对收敛 / 条件收敛:
- 绝对收敛(
收敛)的级数必然收敛。 - 条件收敛:级数收敛,但不绝对收敛(
发散)。
- 绝对收敛(
- 级数收敛证明方法:
- 去证部分和序列收敛;
- 比较法(夹逼 做比等);
- Leibniz 判敛准则。
- 级数收敛值的求解:
- 利用常用函数的 Taylor 展开。
4.1 去证部分和序列收敛
方法:
- 单调有界原理:对正项级数(所有
≥ 0),收敛 部分和序列有上界。(负项级数也一样) - Cauchy 收敛准则:收敛
。 - 拆项:发现
(经过适当放缩)可以拆成 , 极限存在。
例题:
- 若
, 发散,证明 收敛。 。- 所以
,收敛。
- 证明调和级数
发散。- 首先,
,发散。 - 用 Cauchy 收敛准则证明:对于任意 ε、任意 n>任意 N,设
,有 ,所以不满足 Cauchy 收敛准则。
- 首先,
4.2 比较法(夹逼 做比等)
方法:
- 夹逼:
(或仅有有限项不满足该条件),且 收敛,则 收敛。- 若存在
(或仅有有限项不满足该条件)且 收敛,则 绝对收敛。
- 做比:正项级数
,- 若
且 收敛,则 收敛; - 若
且 发散,则 发散。
- 若
- 比值 / 根值判别法【常用】:正项级数
,- 比值判别法:若
,则 收敛;(跟等比数列相比较) - 根值判别法:若
,则 收敛;(跟 相比较)
- 比值判别法:若
4.3 Leibniz 判敛准则【常用】
方法:
- 若
的项正负交替,且绝对值递减( ),最终趋于 0( ),则 收敛。
例题:
其中 p>0:满足 ① 正负交替,② 绝对值递减,③ 最终趋于零,所以级数收敛。
5 函数项级数之收敛性
- 函数项级数:
- 级数的每一项,都是自变量 x 的函数。
- 函数项级数
,和函数 ,部分和函数序列 。
5.1 函数项级数的一致收敛性
一致收敛是很强大的条件。
- 一致收敛:
- 定义:在部分和函数序列
的定义域 D 内,对任意 ε>0,存在仅与 ε 有关的正整数 N(ε),当 n>N(ε) 时, 。关键在于 N 与 x 无关,和函数一致连续的定义一样。 - 内闭一致收敛:对任意 [a, b] 闭区间
D, 在 [a, b] 上一致收敛。 - 一致收敛
内闭一致收敛。反之推不出来。 - 点态收敛(普通的收敛):当 x=x0 时,把函数项级数看成数项级数,级数收敛。
- 定义:在部分和函数序列
- 一致收敛的强大性质:【重要】
- 连续性:
连续 连续。 - 逐项求导:
。 - 逐项积分:
。(额外要求 ① 可导,② 也一致收敛)
- 连续性:
- 一致收敛的判别方法:
- Weierstrass 判别法【常用】:设每一项
满足 (对任意 x∈D),且 收敛,则 Sn 在 D 上一致收敛。即,寻找更强的函数。 - Abel 判别法:设函数项级数
,① 在 D 上一致收敛,② 在 D 上一致有界(即一个函数族有共同的上下界),③ 任意 x∈D, 关于 n 是单调的;则 在 D 上一致收敛。 - Dirichlet 判别法:设函数项级数
,① 任意 x∈D, 关于 n 是单调的,② 在 D 上一致收敛于 0,③ 的部分和序列在 D 上一致有界;则 在 D 上一致收敛。
- Weierstrass 判别法【常用】:设每一项
5.2 幂级数的收敛半径
- 幂级数:
- 定义:
。
- 定义:
- 收敛半径:【重要】
- 使用比值判敛法:比值 =
。 - 记
。R 称为收敛半径。R=∞, 则整个定义域上都收敛。R=0,则只有 x=x0 收敛(每项都为 0)。 - 若 x-x0<R,则幂级数绝对收敛。x-x0>R,幂级数发散。x-x0 = R 需要单独判断。
- 使用比值判敛法:比值 =
- Abel 定理:【常用】
- (为了书写方便,设 x0 = 0)
- 若幂级数在 x=x1 收敛,则任意 |x| < |x1| 都绝对收敛。
- 若幂级数在 x=x1 发散,则任意 |x| > |x1| 都发散收敛。
- Taylor 展开:
- Taylor 展开 收敛于原函数的条件:按照幂级数收敛半径算。
- 幂级数的一致收敛性:
- 设收敛半径为 R,则幂级数在 (-R, R) 内闭一致收敛,即任意
,幂级数在 [-r, r] 一致收敛。 - 证明:选取 c 满足 r<c<R,
,记 ,则 ① 在 [-r, r] 一致收敛(式子里根本没出现 x),② 一致有界(上下界是 -1 和 1),③ 关于 x 单调递增。由 Abel 判别法,幂级数在 [-r, r] 一致收敛。
- 设收敛半径为 R,则幂级数在 (-R, R) 内闭一致收敛,即任意
5.3 例题
- 判断级数
的敛散性。- 使用比值判别法:
,发散,和 α 无关。
- 使用比值判别法:
- 设
,求级数 的收敛半径。- 使用比值判别法:
,所以收敛半径 = 3/2。
- 使用比值判别法:
- 判断级数
的敛散性。 (分母均值不等式)。- 记
,比值判别法 ,所以收敛。 - 由 Weierstrass 判别法,我们找到了一个更强的级数
且 收敛,所以 在 上一致收敛。
- 判断
的敛散性。- 收敛。使用 Weierstrass 判别法,把 sin 放缩成 1 得到更强的级数
,然后错位相消。
- 收敛。使用 Weierstrass 判别法,把 sin 放缩成 1 得到更强的级数
- 求级数
的收敛域与和函数。- 换元:转化为幂级数。
- 记
即 ,转化为幂级数 。
- 记
- 收敛域:
- 比值判别法
,得 y<1。判断 y = 1 时,级数为 发散,所以确实是 y<1。 即 x>0,所以收敛域为 (0, +∞)。
- 比值判别法
- 和函数:
- 幂级数已经(内闭)一致收敛,所以直接应用逐项求导 / 逐项积分。
。
- 换元:转化为幂级数。
- 证明级数
在 上一致收敛,并且存在 ,使得 。- 一致收敛:
- Weierstrass 判别法:把 sinx 放成 1,更强的级数
收敛,所以原级数一致收敛。
- Weierstrass 判别法:把 sinx 放成 1,更强的级数
- 存在 ξ:
- 使用一致收敛的逐项求导性质。
- 首先需要证明导数
一致收敛。- Weierstrass 判别法:把 sinx cosx 都放成 1,得到更强的级数
。 相当于 ,在收敛半径 R=1 内,所以收敛。- 更强的级数收敛,推出导数一致收敛。
- Weierstrass 判别法:把 sinx cosx 都放成 1,得到更强的级数
- 使用 Lagrange 中值定理:
- 设
。 - 中值定理的条件:①
在 闭区间内连续,使用一致收敛的连续性,推出 S(x) 闭区间连续。② 同理,S(x) 开区间可导(事实上有闭区间可导)。 。所以存在 ,使得 ,得证。
- 设
- 一致收敛:
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本文作者:MoonOut
本文链接:https://www.cnblogs.com/moonout/p/16642181.html
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