高等数学 | 数列 函数 级数 函数项级数之收敛性(下)


搞定升学面试的收敛性问题,这一篇就够了!

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4 级数之收敛性

  • 级数收敛的定义:部分和序列 \(\{S_n=\sum_1^n a_i\}\) 收敛,即 \(\lim_{n\rightarrow\infty}S_n\) 存在。
  • 性质:
    • 两个收敛级数逐项相加 / 相减,仍为收敛级数;
    • 对收敛级数的项任意加括号后,所得的级数依然收敛;
    • 去掉、加上、改变有限项后,收敛级数仍然收敛;
    • 收敛的必要条件:\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\)
  • 绝对收敛 / 条件收敛:
    • 绝对收敛( \(|a_n|\) 收敛)的级数必然收敛。
    • 条件收敛:级数收敛,但不绝对收敛( \(|a_n|\) 发散)。
  • 级数收敛证明方法:
    • 去证部分和序列收敛;
    • 比较法(夹逼 做比等);
    • Leibniz 判敛准则。
  • 级数收敛值的求解:
    • 利用常用函数的 Taylor 展开。

4.1 去证部分和序列收敛

方法:

  • 单调有界原理:对正项级数(所有 \(a_n\) ≥ 0),收敛 \(\iff\) 部分和序列有上界。(负项级数也一样)
  • Cauchy 收敛准则:收敛 \(\iff\forall\epsilon\gt0,~\exists n_0\in\mathbb N:|\sum_{n+1}^ma_j|\lt\epsilon\)
  • 拆项:发现 \(a_n\)(经过适当放缩)可以拆成 \(S_n-S_{n-1}\)\(S_n\) 极限存在。

例题:

  • \(a_n\gt0\)\(S_n=\sum_1^na_i\) 发散,证明 \(\sum_1^\infty\big[a_n/S_n^2\big]\)收敛。
    • \(\frac{a_n}{S_n^2}\lt\frac{a_n}{S_nS_{n-1}}=\frac{a_n}{S_n(S_n-a_n)}=\frac{1}{S_n-a_n}-\frac{1}{S_n}=\frac{1}{S_{n-1}}-\frac{1}{S_n}\)
    • 所以 \(\sum_1^\infty\frac{a_n}{S_n^2}\lt\frac{a_1}{S_1^2}+\frac1{S_1}-\frac1{S_2}+\frac1{S_2}-\frac1{S_3}+\cdots=\frac{a_1}{S_1^2}+\frac1{S_1}\),收敛。
  • 证明调和级数 \(\sum_1^\infty\frac1n\) 发散。
    • 首先,\(\sum_1^\infty\frac1n=-\ln(1+x)\bigg|_{x=-1}=-\ln0=+\infty\),发散。
    • 用 Cauchy 收敛准则证明:对于任意 ε、任意 n>任意 N,设 \(S_n=\sum_1^n\frac1i\),有 \(S_{2n}-S_n=\sum_{n+1}^{2n}\frac1i\gt\frac n{2n}=\frac12\),所以不满足 Cauchy 收敛准则。

4.2 比较法(夹逼 做比等)

方法:

  • 夹逼:
    • \(b_n\le a_n\le c_n\)(或仅有有限项不满足该条件),且 \(b_n~c_n\) 收敛,则 \(a_n\) 收敛。
    • 若存在 \(|a_n|\le c_n\)(或仅有有限项不满足该条件)且 \(c_n\) 收敛,则 \(a_n\) 绝对收敛。
  • 做比:正项级数 \(a_n~b_n\)
    • \(\max\frac{b_n}{a_n}\lt\infty\)\(a_n\) 收敛,则 \(b_n\) 收敛;
    • \(\min\frac{b_n}{a_n}\gt0\)\(a_n\) 发散,则 \(b_n\) 发散。
  • 比值 / 根值判别法【常用】:正项级数 \(a_n\)
    • 比值判别法:若 \(\rho=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}<1\),则 \(a_n\) 收敛;(跟等比数列相比较)
    • 根值判别法:若 \(\rho=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{u_n}<1\),则 \(a_n\) 收敛;(跟 \(a^n\) 相比较)

4.3 Leibniz 判敛准则【常用】

方法:

  • \(a_n\) 的项正负交替,且绝对值递减( \(|a_{n+1}|\le|a_n|\) ),最终趋于 0( \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\) ),则 \(a_n\) 收敛。

例题:

  • \(a_n=(-1)^n\frac1{n^p}\) 其中 p>0:满足 ① 正负交替,② 绝对值递减,③ 最终趋于零,所以级数收敛。

5 函数项级数之收敛性

  • 函数项级数:
    • 级数的每一项,都是自变量 x 的函数。
    • 函数项级数 \(\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\),和函数 \(S(x)=\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\),部分和函数序列 \(S_n(x)=\sum_{k=1}^nu_k(x)\)

5.1 函数项级数的一致收敛性

一致收敛是很强大的条件。

  • 一致收敛:
    • 定义:在部分和函数序列 \(\{S_n(x)\}\) 的定义域 D 内,对任意 ε>0,存在仅与 ε 有关的正整数 N(ε),当 n>N(ε) 时,\(|S_n(x)-S(x)|\lt\epsilon\)。关键在于 N 与 x 无关,和函数一致连续的定义一样。
    • 内闭一致收敛:对任意 [a, b] 闭区间 \(\subset\) D,\(\{S_n(x)\}\) 在 [a, b] 上一致收敛。
    • 一致收敛 $\Rightarrow $ 内闭一致收敛。反之推不出来。
    • 点态收敛(普通的收敛):当 x=x0 时,把函数项级数看成数项级数,级数收敛。
  • 一致收敛的强大性质:【重要】
    • 连续性:\(S_n(x)\) 连续 \(\Rightarrow S(x)\) 连续。
    • 逐项求导:\(\int_a^b\big[\sum u_n(x)\big]dx=\sum\big[\int_a^bu_n(x)dx\big]\)
    • 逐项积分: \(\sum u_n'(x)=\big[\sum u_n(x)\big]'\)。(额外要求 ① \(u_n(x)\) 可导,② \(\sum u_n'(x)\) 也一致收敛)
  • 一致收敛的判别方法:
    • Weierstrass 判别法【常用】:设每一项 \(u_n(x)\) 满足 \(|u_n(x)|\le a_n\)(对任意 x∈D),且 \(\sum a_n\) 收敛,则 Sn 在 D 上一致收敛。即,寻找更强的函数。
    • Abel 判别法:设函数项级数 \(\sum a_n(x)b_n(x)\),① \(\sum b_n(x)\) 在 D 上一致收敛,② \(\{a_n(x)\}\) 在 D 上一致有界(即一个函数族有共同的上下界),③ 任意 x∈D,\(\{a_n(x)\}\) 关于 n 是单调的;则 \(\sum a_n(x)b_n(x)\) 在 D 上一致收敛。
    • Dirichlet 判别法:设函数项级数 \(\sum a_n(x)b_n(x)\),① 任意 x∈D,\(\{a_n(x)\}\) 关于 n 是单调的,② \(\{a_n(x)\}\) 在 D 上一致收敛于 0,③ \(b_n(x)\) 的部分和序列在 D 上一致有界;则 \(\sum a_n(x)b_n(x)\) 在 D 上一致收敛。

5.2 幂级数的收敛半径

  • 幂级数:
    • 定义:\(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\)
  • 收敛半径:【重要】
    • 使用比值判敛法:比值 = \(\lim_{n\rightarrow\infty}|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}|=\lim|\frac{a_{n+1}}{a_n}(x-x_0)|\)
    • \(\lim|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\frac1R\)。R 称为收敛半径。R=∞, 则整个定义域上都收敛。R=0,则只有 x=x0 收敛(每项都为 0)。
    • 若 x-x0<R,则幂级数绝对收敛。x-x0>R,幂级数发散。x-x0 = R 需要单独判断。
  • Abel 定理:【常用】
    • (为了书写方便,设 x0 = 0)
    • 若幂级数在 x=x1 收敛,则任意 |x| < |x1| 都绝对收敛。
    • 若幂级数在 x=x1 发散,则任意 |x| > |x1| 都发散收敛。
  • Taylor 展开:
    • Taylor 展开 收敛于原函数的条件:按照幂级数收敛半径算。
  • 幂级数的一致收敛性:
    • 设收敛半径为 R,则幂级数在 (-R, R) 内闭一致收敛,即任意 \([-r, r]\subset(-R, R)\),幂级数在 [-r, r] 一致收敛。
    • 证明:选取 c 满足 r<c<R,\(\sum a_nx^n=\sum a_nc^n\big(\frac xc\big)^n\),记 \(u_n(x)=a_nc^n,~v_n(x)=\big(\frac xc\big)^n\),则 ① \(u_n(x)\) 在 [-r, r] 一致收敛(式子里根本没出现 x),② \(v_n(x)\) 一致有界(上下界是 -1 和 1),③ \(v_n(x)\) 关于 x 单调递增。由 Abel 判别法,幂级数在 [-r, r] 一致收敛。

5.3 例题

  • 判断级数 \(\sum_{n=1}^\infty b_n=\sum(-1)^n\frac{n^n}{2^n(\ln n)^\alpha n!}\) 的敛散性。
    • 使用比值判别法:\(\lim|\frac{b_n}{b_{n+1}}|=\lim2[\frac n{n+1}]^n[\frac{\ln{n+1}}{\ln n}]^\alpha=2\cdot e^{-1}\cdot 1\),发散,和 α 无关。
  • \(\lim_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=2\),求级数 \(\sum_{n=1}^\infty a_n\big(\frac{x+3}3\big)^n\) 的收敛半径。
    • 使用比值判别法:\(\lim|\frac{b_{n+1}}{b_{n}}|=\lim2(x+3)\frac13\),所以收敛半径 = 3/2。
  • 判断级数 \(\sum_{n=1}^\infty b_n=\sum\frac x{1+n^3x^2}\) 的敛散性。
    • \(b_n=\frac x{1+n^3x^2}\le\frac x{2\sqrt{n^3x^2}}=\frac1{2n^{\frac32}}\)(分母均值不等式)。
    • \(c_n=\frac1{n^{\frac32}}\),比值判别法 \(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{c_{n+1}}{c_n}=(1+\frac1n)^\frac32=\lim\frac32\frac1n=0\),所以收敛。
    • 由 Weierstrass 判别法,我们找到了一个更强的级数 \(c_n\)\(c_n\) 收敛,所以 \(b_n\)\(\R\) 上一致收敛。
  • 判断 \(∑_{n=p}^{+∞}(\frac1{\sqrt n}-\frac1{\sqrt{n+1}})\sin⁡(n+k)\) 的敛散性。
    • 收敛。使用 Weierstrass 判别法,把 sin 放缩成 1 得到更强的级数 \(∑_{n=p}^{+∞}(\frac1{\sqrt n}-\frac1{\sqrt{n+1}})\),然后错位相消。
  • 求级数 \(\sum_{n=1}^\infty ne^{-nx}\) 的收敛域与和函数。
    • 换元:转化为幂级数。
      • \(y^n=e^{-nx}\)\(y=e^{-x}\),转化为幂级数 \(\sum_{n=1}^\infty b_n(y)=\sum_{n=1}^\infty ny^n\)
    • 收敛域:
      • 比值判别法 \(\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{n+1}ny<1\),得 y<1。判断 y = 1 时,级数为 \(\sum_{n=1}^\infty n\) 发散,所以确实是 y<1。
      • \(y=e^{-x}<1\) 即 x>0,所以收敛域为 (0, +∞)。
    • 和函数:
      • 幂级数已经(内闭)一致收敛,所以直接应用逐项求导 / 逐项积分。
      • \(\sum_1^\infty ny^n=y\sum_1^\infty ny^{n-1}=y\bigg[\sum_1^\infty y^n\bigg]'=y\big(\frac y{1-y}\big)'=\frac y{(1-y)^2}=\frac{e^-x}{(1-e^{-x})^2}\)
  • 证明级数 \(\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin^nx}{2^n}\)\((-\infty, +\infty)\) 上一致收敛,并且存在 \(\xi \in(0,\frac\pi2)\),使得 \(\sum_{n=1}^\infty\frac{n\cos\xi\sin^{n-1}\xi}{2^n}=\frac2\pi\)
    • 一致收敛:
      • Weierstrass 判别法:把 sinx 放成 1,更强的级数 \(\sum\frac1{2^n}\) 收敛,所以原级数一致收敛。
    • 存在 ξ:
      • 使用一致收敛的逐项求导性质。
      • 首先需要证明导数 \(\sum_{n=1}^\infty\frac{n\cos x\sin^{n-1}x}{2^n}\) 一致收敛。
        • Weierstrass 判别法:把 sinx cosx 都放成 1,得到更强的级数 \(\sum\frac n{2^n}\)
        • \(\sum\frac n{2^n}\) 相当于 \(\sum nx^n\bigg|_{x=\frac12}\),在收敛半径 R=1 内,所以收敛。
        • 更强的级数收敛,推出导数一致收敛。
      • 使用 Lagrange 中值定理:
        • \(S(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin^nx}{2^n}, S'(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{n\cos x\sin^{n-1}x}{2^n}\)
        • 中值定理的条件:① \(a_n(x)=\frac{\sin^nx}{2^n}\)\([0,\frac\pi2]\) 闭区间内连续,使用一致收敛的连续性,推出 S(x) 闭区间连续。② 同理,S(x) 开区间可导(事实上有闭区间可导)。
        • \(S(0)=0,~S(\frac\pi2)=\sum_1^\infty\frac1{2^n}=1\)。所以存在 \(\xi \in(0,\frac\pi2)\),使得 \(S'(\xi)=\sum_{n=1}^\infty\frac{n\cos\xi\sin^{n-1}\xi}{2^n}=\frac{S(\frac\pi2)-S(0)}{\frac\pi2-0}=\frac2\pi\),得证。

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posted @ 2022-09-01 15:07  MoonOut  阅读(806)  评论(0编辑  收藏  举报