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高等数学 | 数列函数级数函数项级数之收敛性（上）

搞定升学面试的收敛性问题，这一篇就够了！

1 数列之收敛性
2 函数之连续性
3 积分之收敛性

1 数列之收敛性

数列收敛用极限定义（ε-N 定义法）。

设数列 {xn}，如果存在常数 a（只有一个），对于任意给定的正数 ε（无论多小），总存在正整数 N，使得 n＞N 时，恒有 |xn-a|＜ε 成立，就称数列 {xn} 收敛于 a（极限为 a）。

每个收敛的数列只有一个极限。
收敛数列必定有界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。数列有界，不一定收敛。
推论：无界数列必定发散。同样，数列发散不一定无界。

数列收敛主要有 4 种证明方法：单调有界原理，Cauchy 收敛准则，夹逼定理，Stolz 收敛准则。

1.1 单调有界原理

如果数列单调递增有上界、单调递减有下界，则数列收敛。

可以不严格单调。

例题：

设 $x_{1} = 1, x_{n + 1} = \sqrt{x_{n} + 1}$ ，证明数列 ${x_{n}}$ 收敛，并求极限值。

解答：

采用递推思路。
单调递增：
- $x_{n + 1} - x_{n} = \sqrt{x_{n} + 1} - \sqrt{x_{n - 1} + 1} = \frac{x_{n} - x_{n - 1}}{\sqrt{x_{n} + 1} + \sqrt{x_{n - 1} + 1}}$ ， $x_{n + 1} - x_{n}$ 和 $x_{n} - x_{n - 1}$ 同号。
- 又因为 $x_{2} = \sqrt{x_{1} + 1} = \sqrt{2}, x_{2} - x_{1} > 0$ ，所以有 $x_{n + 1} - x_{n} > 0$ ，单调递增。
有界：
- 设 $x_{n} < 2$ ， $x_{n + 1} = \sqrt{x_{n} + 1} < \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3} < 2$ 。
- 又因为 $x_{1} < 2$ ，所以有 $\forall n, x_{n} < 2$ 。
极限值：
- 设极限值为 L，则有 $L = \sqrt{L + 1}, L^{2} = L + 1$ ，解得 $L = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ 。

1.2 Cauchy 收敛准则

数列 {xn} 等价于【对任意 ε ∈ R+，都存在 N ∈ N+，使得任意 n,m＞N 有 |xn−xm|＜ε】。

例题：

$a_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$ ，证明 {an} 发散。

解答：

对任意 ε 任意 N，任意 n＞N，有 $a_{2 n} - a_{n} = \sum_{i = n + 1}^{2 n} \frac{1}{i} > \sum_{i = n + 1}^{2 n} \frac{1}{2 n} = \frac{n}{2 n} = \frac{1}{2}$ 。
所以，对任意 ε 都没法找到对应的 N，数列发散。

1.3 夹逼定理

如果有 {yn} ≤ {xn} ≤ {zn}，且 {yn} {zn} 都收敛，则 {xn} 收敛。

1.4 Stolz 收敛准则

容我粘个清楚的解释：https://zhidao.baidu.com/question/377420097379989524.html

Stolz 准则， $lim_{n \to \infty} \frac{A_{n}}{B_{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{A_{n + 1} - A_{n}}{B_{n + 1} - B_{n}} = L$ ，L 可以为 0 / 有限数 / ∞。

可以类比为离散情况的洛必达。

例题：

$x_{1} > 0$ ， $x_{n + 1} = x_{n} + \frac{1}{x_{n}}$ ，求 $lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{\sqrt{2 n}}$ 。

解答：

因为 $x_{n + 1}^{2} = x_{n}^{2} + \frac{1}{x_{n}^{2}} + 2 > x_{n}^{2} + 2$ ，稳定的增加 2，所以 $lim_{n \to \infty} x_{n}^{2} = + \infty, lim x_{n} = + \infty$ 。
考察 $lim \frac{x_{n}^{2}}{[\sqrt{2 n}]^{2}} = lim \frac{x_{n + 1}^{2} - x_{n}^{2}}{2 (n + 1) - 2 n} = lim \frac{x_{n}^{2} + \frac{1}{x_{n}^{2}} + 2 - x_{n}^{2}}{2} = 1$ ，所以 $lim \frac{x_{n}}{\sqrt{2 n}} = \sqrt{1} = 1$ 。

2 函数之连续性

函数在某点连续： $lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$ 。（极限用 ε-N 定义法）
函数在区间连续：任意 x0 属于区间（包括闭区间端点），函数在 x0 连续。
- 第Ⅰ类间断点：左右极限都存在，可去间断点 / 跳跃间断点。
- 第Ⅱ类间断点：左右极限至少有一个不存在（无穷或震荡）。
函数的一致连续：
- 容我粘个不错的讲解：https://zhuanlan.zhihu.com/p/87515532
- 定义：对于区间 D 上的函数 f，若对任意 ε＞0 都存在 δ＞0，使得对于任意 x1 x2 ∈ D，只要 |x1−x2|＜δ，就有 |f(x1)−f(x2)|＜ε。关键：一致连续函数不能无限陡峭。
- 一致连续性是函数在区间上的性质，说函数“在某一点一致连续”“某一位置一致连续”都是错的。
- 在闭区间上，函数值一定有界，连续 $⟺$ 一致连续。
- 在开区间上，连续 $⟹$ 一致连续，需要考察区间端点的性质。如果端点函数值的极限（如 f(x)=1/x, x=0）无界，或有界但震荡（如 f(x)=sin(1/x), x=0），则不一致连续。

3 积分之收敛性

黎曼可积：
- 容我粘个定义：https://zhuanlan.zhihu.com/p/65390506，https://zhuanlan.zhihu.com/p/344866541
- 通俗解释：
  - 把区间进行分割，达布大和 = Σ每个分割小段最大值 × 分割小段的长度，达布小和 = Σ最小值 × 长度。
  - 如果对于足够细致的分割，达布大和达布小和趋于同一个极限，（即 Σ函数值 × 分割长度与 1. 分割怎么取 2. 函数值怎么取无关），则黎曼可积。
反常积分：含有无穷上限 / 下限（无穷限广义积分），或被积函数含有瑕点（无界函数的反常积分）。
- 无穷限积分判敛：看 $\int_{- \infty}^{+ \infty} f d x = lim_{A \to - \infty} [lim_{B \to + \infty} (\int_{A}^{B} f d x)]$ 极限是否存在。
- 无界函数积分判敛：假设 x0 是瑕点，考察 $lim_{A \to x_{0}^{-}} [lim_{B \to x_{0}^{+}} (\int_{x_{1}}^{A} f d x + \int_{B}^{x_{2}} f d x)]$ 极限是否存在。

例题：

$\int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{x^{2}} e^{\frac{1}{x}} d x$ 判断敛散。

解答：

对 $f (x) = \frac{1}{x^{2}} e^{\frac{1}{x}} d x$ ，x=0 是瑕点，同时又积分到无穷。
所以，原式 = $lim_{A \to 0^{+}} [lim_{B \to + \infty} (\int_{A}^{B} f d x)] = lim lim [e^{t = \frac{1}{x}} |_{\frac{1}{B}}^{\frac{1}{A}}]$ ， $e^{+ \infty} = + \infty$ ，发散。

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本文作者：MoonOut

本文链接：https://www.cnblogs.com/moonout/p/16639365.html

posted @ 2022-08-31 10:35 MoonOut 阅读(632) 评论(0) 编辑收藏举报

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