高等数学 | 数列 函数 级数 函数项级数之收敛性（上）

搞定升学面试的收敛性问题，这一篇就够了！

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目录

1 数列之收敛性

数列收敛用极限定义（ε-N 定义法）。

设数列 {xn}，如果存在常数 a（只有一个），对于任意给定的正数 ε（无论多小），总存在正整数 N，使得 n＞N 时，恒有 |xn-a|＜ε 成立，就称数列 {xn} 收敛于 a（极限为 a）。

  • 每个收敛的数列只有一个极限。
  • 收敛数列必定有界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。数列有界，不一定收敛。
  • 推论：无界数列必定发散。同样，数列发散不一定无界。

数列收敛主要有 4 种证明方法：单调有界原理，Cauchy 收敛准则，夹逼定理，Stolz 收敛准则。

1.1 单调有界原理

如果数列单调递增有上界、单调递减有下界，则数列收敛。

可以不严格单调。

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例题：

  • 设 \(x_1 = 1,~x_{n+1}=\sqrt{x_n+1}\)，证明数列 \(\{x_n\}\) 收敛，并求极限值。

解答：

  • 采用递推思路。
  • 单调递增：
    • \(x_{n+1}-x_n=\sqrt{x_n+1}-\sqrt{x_{n-1}+1}=\frac{x_n-x_{n-1}}{\sqrt{x_n+1}+\sqrt{x_{n-1}+1}}\)，\(x_{n+1}-x_n\) 和 \(x_n-x_{n-1}\) 同号 。
    • 又因为 \(x_2=\sqrt{x_1+1}=\sqrt2,~x_2-x_1\gt0\)，所以有 \(x_{n+1}-x_n\gt0\)，单调递增。
  • 有界：
    • 设 \(x_n\lt2\)，\(x_{n+1}=\sqrt{x_n+1}\lt\sqrt{2+1}=\sqrt3\lt2\)。
    • 又因为 \(x_1\lt2\)，所以有 \(\forall n,~x_n\lt2\)。
  • 极限值：
    • 设极限值为 L，则有 \(L=\sqrt{L+1}, L^2=L+1\)，解得 \(L=\frac{\sqrt5+1}2\)。

1.2 Cauchy 收敛准则

数列 {xn} 等价于【对任意 ε ∈ R+，都存在 N ∈ N+，使得任意 n,m＞N 有 |xn−xm|＜ε】。

例题：

  • \(a_n=1+\frac12+\cdots+\frac1n\)，证明 {an} 发散。

解答：

  • 对任意 ε 任意 N，任意 n＞N，有 \(a_{2n}-a_n=\sum_{i=n+1}^{2n}\frac1i\gt\sum_{i=n+1}^{2n}\frac1{2n}=\frac n{2n}=\frac12\)。
  • 所以，对任意 ε 都没法找到对应的 N，数列发散。

1.3 夹逼定理

如果有 {yn} ≤ {xn} ≤ {zn}，且 {yn} {zn} 都收敛，则 {xn} 收敛。

1.4 Stolz 收敛准则

容我粘个清楚的解释：https://zhidao.baidu.com/question/377420097379989524.html

Stolz 准则，\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{A_n}{B_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{A_{n+1}-A_n}{B_{n+1}-B_n}=L\)，L 可以为 0 / 有限数 / ∞。

可以类比为离散情况的洛必达。

例题：

  • \(x_1\gt0\)，\(x_{n+1}=x_n+\frac1{x_n}\)，求 \(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x_n}{\sqrt{2n}}\)。

解答：

  • 因为 \(x_{n+1}^2=x_n^2+\frac1{x_n^2}+2\gt x_n^2+2\)，稳定的增加 2，所以 \(\lim_{n\rightarrow\infty}x_n^2=+\infty,~\lim x_n=+\infty\)。
  • 考察 \(\lim\frac{x_n^2}{[\sqrt{2n}]^2}=\lim\frac{x_{n+1}^2-x_n^2}{2(n+1)-2n}=\lim\frac{x_n^2+\frac1{x_n^2}+2-x_n^2}{2}=1\)，所以 \(\lim\frac{x_n}{\sqrt{2n}}=\sqrt1=1\)。

2 函数之连续性

  • 函数在某点连续：\(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)\)。（极限用 ε-N 定义法）
  • 函数在区间连续：任意 x0 属于区间（包括闭区间端点），函数在 x0 连续。
    • 第Ⅰ类间断点：左右极限都存在，可去间断点 / 跳跃间断点。
    • 第Ⅱ类间断点：左右极限至少有一个不存在（无穷或震荡）。
  • 函数的一致连续：
    • 容我粘个不错的讲解：https://zhuanlan.zhihu.com/p/87515532
    • 定义：对于区间 D 上的函数 f，若对任意 ε＞0 都存在 δ＞0，使得对于任意 x1 x2 ∈ D，只要 |x1−x2|＜δ，就有 |f(x1)−f(x2)|＜ε。关键：一致连续函数不能无限陡峭。
    • 一致连续性是函数在区间上的性质，说函数“在某一点一致连续”“某一位置一致连续”都是错的。
    • 在闭区间上，函数值一定有界，连续 \(\iff\) 一致连续。
    • 在开区间上，连续 $\Longrightarrow $ 一致连续，需要考察区间端点的性质。如果端点函数值的极限（如 f(x)=1/x, x=0）无界，或有界但震荡（如 f(x)=sin(1/x), x=0），则不一致连续。

3 积分之收敛性

  • 黎曼可积：
    • 容我粘个定义：https://zhuanlan.zhihu.com/p/65390506，https://zhuanlan.zhihu.com/p/344866541
    • 通俗解释：
      • 把区间进行分割，达布大和 = Σ每个分割小段最大值 × 分割小段的长度，达布小和 = Σ最小值 × 长度。
      • 如果对于足够细致的分割，达布大和 达布小和 趋于同一个极限，（即 Σ函数值 × 分割长度 与 1. 分割怎么取 2. 函数值怎么取 无关），则黎曼可积。
  • 反常积分：含有无穷上限 / 下限（无穷限广义积分），或被积函数含有瑕点（无界函数的反常积分）。
    • 无穷限积分 判敛：看 \(\int_{-\infty}^{+\infty}fdx=\lim_{A\rightarrow-\infty}\big[\lim_{B\rightarrow+\infty}\big(\int_A^Bfdx\big)\big]\) 极限是否存在。
    • 无界函数积分 判敛：假设 x0 是瑕点，考察 \(\lim_{A\rightarrow x_0^-}\big[\lim_{B\rightarrow x_0^+}\big(\int_{x_1}^Afdx+\int_B^{x_2}fdx\big)\big]\) 极限是否存在。

例题：

  • \(∫_0^{+\infty}\frac1{x^2}e^{\frac1x}dx\) 判断敛散。

解答：

  • 对 \(f(x)=\frac1{x^2}e^{\frac1x}dx\)，x=0 是瑕点，同时又积分到无穷。
  • 所以，原式 = \(\lim_{A\rightarrow0^+}\big[\lim_{B\rightarrow+\infty}\big(\int_A^Bfdx\big)\big]=\lim\lim\big[e^{t=\frac1x}\bigg|_{\frac1B}^{\frac1A}\big]\)，\(e^{+\infty}=+\infty\)，发散。

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posted @ 2022-08-31 10:35  MoonOut  阅读(585)  评论(0)  编辑  收藏  举报