概率论 | 三个古典概型题目

感觉在升学场景下，古典概型也是常考的面试题。

目录

• 1 存在两个？不存在两个？恰好两个？至少两个？
• 2 手套配对问题（简单版）
• 3 “超过 2 分结束比赛”套路，见过就会了

1 存在两个？不存在两个？恰好两个？至少两个？

题意：

• 一架电梯开始有 6 个乘客，并等可能的停于 10 层楼的每一层。（等价于：6 个球放进 10 个盒子。）
• 求下列概率：
  1. 某一层有 2 位乘客离开；
  2. 没有 2 位及 2 位以上乘客在同一层离开；
  3. 恰有 2 位乘客在同一层离开；
  4. 至少有 2 位乘客在同一层离开。

解答：

• 每个人在某一层楼下电梯的概率都为 1/10，一个人有 10 种选法，有 6 个人，选法总共为 ${10}^6$ 种。
• 第 2 问：没有 2 人在同一层下，即，6 个人在不同的楼层下。
  • 在 10 层里面选 6 个 $C_{10}^6$，再把 6 层楼分给 6 个人 $6!$，因此概率为 $\frac{{\text{C}}_{10}^6\times 6!}{{10}^6}$。
• 第 1 问：某一层有两个人下，其他人不在这一层下。
  • 从 10 层楼里挑选一层 $C_{10}^1$，选两个人下楼 $C_6^2$。
  • 其他 4 个人不能在这一层下，除了这一层，任何层都可以下（甚至 4 个人挤到同一层）。因此，他们 4 个只有 9 种选择，$9^4$。
  • 答案为 $\frac{C_{10}^1{C}_6^2\times 9^4}{{10}^6}$。
• 第 3 问：只有两个人在同一层下，其他人选择不同的楼层。
  • 从 10 层楼里挑选一层 $C_{10}^1$，选两个人下楼 $C_6^2$。
  • 其他 4 个人各自选择不同楼层，选 4 层 $C_9^4$，分给 4 个人 $4!$。
  • 答案为 $\frac{C_{10}^1{C}_6^2{C}_9^4\times 4!}{{10}^6}$。
• 第 4 问：是第 2 问的对立事件，因此答案为 $1-\frac{C_{10}^6\times 6!}{{10}^6}$。

2 手套配对问题（简单版）

题意：

• 从 6 双不同的手套中任意抽取 4 只，求至少有 2 只配成一对的概率。

解答：

• 这个题就简单多啦。存在配对的对立事件是不存在配对，即 1. 抽到 4 只左手，2. 抽到 4 只右手。这两个情况是对称的，因此算出一个概率，再乘二就可以了。
• 12 只手套抽 4 只的抽法 $C_{12}^4$，抽到 4 只左手的抽法 $C_6^4$，右手也是 $C_6^4$，再取对立事件，因此答案为 $1-\frac{2\times C_6^4}{C_{12}^4}$。

3 “超过 2 分结束比赛”套路，见过就会了

题意：

• 甲乙二人比赛射击，每人轮流进行一次，胜者得一分，直到有一人超过对方 2 分为止，就结束比赛，多得 2 分者胜。在相互独立的每次射击中，甲胜的概率为 α（α＞0.5），要不甲胜，要不乙胜。
• 求甲最终获胜的概率。

解答：

• 神乎其技的思路：逆向思维。
  • 请容我粘个原答案的链接：https://zhidao.baidu.com/question/78807891.html
  • 在一回合中，甲赢了记为 1，输了记为 0，则甲乙的比赛情况可以被一个 01 串来记录。
  • 本题的关键是：该串的最后两位一定是 11，即甲连胜两场。
    • 为什么呢？如果最后一位是 0，即甲输了一场后 比赛结束且甲胜，那么甲在输了一场后仍超过乙两分，输之前超过乙三分，应该早就获胜了，矛盾。
    • 如果倒数第二位是 0，即甲输了一场再赢一场 比赛结束且甲胜，那么甲在一输一赢后仍超过乙两分，一输一赢之前也超过乙两分，应该早就获胜了，矛盾。
  • 所以，在连续两个 11 后，甲比乙超出两分，11 的概率是 α²；11 之前，甲乙是平局。
  • 每造成一个平局，都会出现甲的一胜一负，其中甲可以先胜也可以后胜，对应 α(1-α) 和 (1-α)α，即 。
  • 出现平局后，甲可以打出 11，概率为 α²；也可以继续平局下去，概率为 2α(1-α)，然后，选择打出 11（α²）或者继续继续平局（ 2α(1-α) ）……
  • 所以，概率为 ${\alpha }^2(1+2\alpha (1-\alpha )+[2\alpha (1-\alpha ){]}^2+[2\alpha (1-\alpha ){]}^3+...)={\alpha }^2/[1-2\alpha (1-\alpha )]=\frac{{\alpha }^2}{\alpha ²+(1-\alpha {)}^2}$。
• 普通人思路：状态机。
  • 记甲领先一分为 “甲1”，领先两分（甲胜）为 “甲2”，乙领先一分为 “乙1”，领先两分（乙胜）为 “乙2”，则可以构造下图的状态机，箭头上是转移概率。
  • 状态机：
  • 初始状态下，处于平局的概率是 1，如果想直接获胜，那么从 “平” 到 “甲2”，概率为 α²。
  • 否则，可以走【平 → 甲1 → 平】/【平 → 乙1 → 平】的路线，继续保持平局状态，两条路线的概率加起来为 2α(1-α)。
  • 同样，可以得到概率为 ${\alpha }^2(1+2\alpha (1-\alpha )+[2\alpha (1-\alpha ){]}^2+[2\alpha (1-\alpha ){]}^3+...)=\frac{{\alpha }^2}{\alpha ²+(1-\alpha {)}^2}$。