线性代数 | 等价、相似、合同
本文为浓缩知识点,请打起精神,认真阅读! 相信我,看完这篇就够了!
对升学面试来说, 等价、相似、合同的比较,应该属于 (八股文) 高频考点了
1 概念比较
- 定义:
- 等价:矩阵 A 可通过初等变换得到矩阵 B,即存在 P Q 可逆,使得 PAQ = B。
- 相似:存在矩阵 P 可逆,使得
。 - 合同:存在矩阵 P 可逆,使得
。
- 前置条件:
- 等价:是矩阵就行,长宽可以不相等。
- 相似:方阵。
- 合同:方阵,通常来说 实对称矩阵(
)。
- 充要条件:
- 等价:秩相等,r(A) = r(B)。
- 相似:A 和 B 有相同的 Jordan 标准型。在部分简单教材中,简化为 A B 相似于同一个对角阵。
- 合同:两个实对称矩阵 A B,正惯性指数 负惯性指数 相等。
- 充要条件的证明思路:
- 等价:秩相等的两个矩阵,都可以初等变换为
的形式。PAQ = U、RBS = U,则 。 - 相似:
、 ,则 。 - 合同:
- 首先,因为 A 是实对称矩阵,所以有
,其中 Q 是正交矩阵( )。 - 设
, ,易知可以通过 1. 元素为 1/λ 的对角阵 + 2. 交换行列,将 化为 C 的形式,即 。 - 同样,B 是实对称矩阵,有
,则 。
- 首先,因为 A 是实对称矩阵,所以有
- 等价:秩相等的两个矩阵,都可以初等变换为
2 奇妙性质
- 初等变换的性质:
- 可以通过对分块矩阵 (A, E) 施加初等行变换,得到
,用来求方阵逆矩阵。
- 可以通过对分块矩阵 (A, E) 施加初等行变换,得到
- 相似的性质:
- 两个相似矩阵,所有特征值相等、行列式相等、秩相等、迹(对角线元素求和)相等。简记为【 D 等 r 等 tr 等 】。
- 特征值相乘 = 原矩阵的行列式(相似矩阵 D 相等)。特征值相加 = 原矩阵的迹(相似矩阵 tr 相等)。
- 迹(trace)的性质:
- tr(A+B) = tr(A) + tr(B),tr(AB) = tr(BA)。
- 等价 / 相似 / 合同 标准型的比较:
- 等价标准型:
。 - 相似标准型:Jordan 标准型
/ 对角矩阵 。 - 合同标准型:
。
- 等价标准型:
重要的事情再重复一遍:
- 矩阵特征值 求和 = 迹,乘积 = 行列式!
- 相似矩阵 D 等 r 等 tr 等!
👆 常考常考常考!
另一个高频考点:线性方程组的解 & 最小二乘法,最小二乘法 已经写博客了 😉
本站其他相关博客:
本文作者:MoonOut
本文链接:https://www.cnblogs.com/moonout/p/16624859.html
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