线性代数 | Jordan 标准型的笔记

内容概述：

• 把方阵 A 的特征多项式 $c(\lambda )=|\lambda E-A|$ 展开成 $c(\lambda )=\sum _i{a}_i{\lambda }^i$ 的形式，然后使用神乎其技的证明，得到 $c(A)=O$，特征多项式是 A 的化零多项式。【Hamilton-Cayley 定理】
• 定义 A 的最小多项式为 $m(\lambda )={\mathrm{\Pi }}_i(\lambda -{\lambda }_i{)}^{c_i}$，即次数最低的、能使 m(A)=0 的多项式。显然，m(λ) 是 c(λ) 的因式。
• 如果 m(λ) 里所有 $c_i$ 都为 1，则 A 可相似对角化。
• 如果不都为 1，那么对特征值 ${\lambda }_i$，要在相似矩阵里放 $c_i$ 个 Jordan 标准型。具体怎么放，要枚举所有可能 + 看 ${\lambda }_{i}E-A$ 幂次的秩是否符合。

Jordan 标准型长这样：

Jordan 矩阵由 Jordan 块组成，Jordan 标准型就是与 A 相似的 Jordan 矩阵：