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线性代数 | 两个特征值／特征向量证明题

1 从方阵的秩，到 $| λ E - A | = 0$ ，再到 $(λ E - A) x = 0$ 基础解系
2 反证法证明线性无关，矩阵相似的传递性

1 从方阵的秩，到 $| λ E - A | = 0$ ，再到 $(λ E - A) x = 0$ 基础解系

题意：

设矩阵 A 满足 A² = A，证明 A 可相似于对角阵。

解答：

请容我贴个更易懂的解答：https://zhidao.baidu.com/question/269799109540173485.html
首先，从 A 和 E-A 的秩入手：
- 思路：看到 A² = A，即可试一下 A(E-A) = O 移项。
- A² = A 即 A(E-A) = O，
- 秩的放缩1：由 r(A) + r(B) ≤ r(AB) + n （n 为 AB 相乘的中间维度）可知，r(A) + r(E-A) ≤ n。
- 秩的放缩2： r(A) + r(B) ≥ r(A, B) ，而分块矩阵 (A, E-A) 把 A 加到右边，即得 (A, E)，r(A, E) = n。
- 推得 r(A) + r(E-A) ≤ n，r(A) + r(E-A) ≥ n，
- 所以 r(A) + r(E-A) = n。
然后，考察 |1E-A| 和 |0E-A|（ |λE-A| = 0 是特征多项式）：
- 特殊情况讨论：
  - 如果 r(A) = n, r(E-A) = 0，那么 A = E，E 本身就是对角阵。
  - 如果 r(A) = 0, r(E-A) = n，那么 A = O，零矩阵 O 也算对角阵。
- 一般情况：如果 A 和 E-A 都不满秩，那么 |1E-A| 和 |0E-A| 都 = 0，
- 即，在 λ 取值 0 1 时，特征多项式 = 0，
- 0 1 是两个特征值。
最后，用 (λE-A)x = 0 的基础解系，看特征向量个数：
- 齐次线性方程组 Bx = 0，基础解系的基向量个数为 n - r(B)，其中 n 是未知数个数。
- 可知，(E-A)x=0 基向量个数 + Ax=0 基向量个数 = n。
- 基础解系的基向量个数，等于特征值 λ 的特征向量个数，
- 则，矩阵 A 的特征值 0 的特征向量个数 + 1 的特征向量个数 = n，
- A 是可对角化的。

2 反证法证明线性无关，矩阵相似的传递性

题意：

设 a1, a2 为三阶矩阵 A 的属于特征值 -1, 1 的特征向量，如果 Aa3 = a2 + a3，
1. 证明 a1, a2, a3 线性无关。
2. 记 P = (a1, a2, a3)，求 $P^{- 1} A P$ 。
3. 证明 A 不能相似于对角阵。
听说这是 20 年数学三的真题。月出特意去查了，发现数一对应理工科数三对应商科，据说数一比数三难。

解答：

线性无关：反证法。
- 假设 a3 可由 a1 a2 线性表示，即 a3 = k1a1 + k2a2，k1 k2 不全为零。
- 带入 Aa3 = a2 + a3，左边 A(k1a1 + k2a2) = -k1a1 + k2a2，右边 a2 + a3 = k1a1 + (k2+1) a2，
- 得方程组 ① -k1 = k1, ② k2 = k2+1，② 式矛盾。
- 所以得证，a1, a2, a3 线性无关。
第二问的矩阵乘法：
- 先乘 AP： $P^{- 1} A P = P^{- 1} [A (a 1, a 2, a 3)] = P^{- 1} (- a 1, a 2, a 2 + a 3)$ 。
- 将分块矩阵看成列向量变换： $= P^{- 1} (a 1, a 2, a 3) (\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ ，即 $P^{- 1} P (\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ ，
- 答案为 $(\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ 。
不能相似对角化：从相似传递性，到反证法。
- 思路：相似具有传递性，因此，考察 $P^{- 1} A P$ 能否相似于对角阵。
- 假设 A 能相似于对角阵，那么 $P^{- 1} A P$ 应该也能相似于对角阵，因为 a1 a2 a3 线性无关，P 可逆。
- $P^{- 1} A P = (\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ ，特征多项式 |λE-B| = -(1-λ)²(1+λ)，λ=1 和 -1 是特征值。
- $B - E = (\begin{matrix} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$ ，特征向量为 $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ ； $B + E = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})$ ，特征向量为 $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ 。
- $P^{- 1} A P$ 只有两个特征向量，不能相似对角化，矛盾。
- 因此，A 也不能相似对角化。