数据结构（一）

第一章 算法

1.1 算法的时间复杂度

1. 时间复杂度的定义：
   （1）时间复杂度表示为O(f(n))，随问题规模n的逐渐增大，算法时间的增长率和f(n)相同
   （2）O(1)：常数阶
   （3）O(n)：线性阶
   （4）O(\(n^2\))：平方介
   （5）O(\(log_2n\))：对数阶

   while(count < n){
       //每次循环，count都会离n进一步，需要循环对数次
       count = count*2;
   }
   

2. 推到O阶的方法
   （1）用常数1取代运行时的所有加法
   （2）修改后的运行次数函数中，只保留最高阶
   （3）如果最高阶存在且不是1，则去除这个项相乘的常数。
   上面三部得到的结果就是O的阶
   （4）eg：如下例子的复杂度
   当i=0时，内循环执行了n次；当n=1时，执行了n-1次，所以总次数为n+(n-1)+(n-2)+...+1 = \(\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n\) 。 因此时间复杂度为O(\(n^2\))

   for(int i=0;i<n;i++){
       for(j=i;j<n;j++){
           /* 事件复杂度为O(1)的程序步骤  */
       }
   }
   

（5）又一个例子
操作总次数=1+1+\(\frac{n(n+1)}{2}\),所以时间复杂度为O(\(n^2\))
c n++; /* 执行次数为1 */ fun(n); /* 执行次数为1 */ for(int i=0;i<n;i++){ /* 执行次数为如上面的例子 */ for(int j=i;j<n;j++){ /*时间复杂度为O(1)的操作*/ } }

1.2 常用事件复杂度的比较

1. 时间复杂度公式
   \(O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(n!) < O(n^n)\)