文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt (35)-- 算法导论5.3 5题

五、证明:在过程 PERMUTE-BY-SORTING的数组 P中,所有元素都唯一的概率至少是1-1/n。

文心一言:

证明:

在过程PERMUTE-BY-SORTING中,对于输入数组P中的每个元素,其出现次数为1,因此对于每个元素,在排序后的数组中,它出现的位置是唯一的。

假设在排序后的数组中,有两个元素a和b,它们在原始数组P中的位置分别为i和j,且i eq j。由于排序是稳定的,因此在排序后的数组中,a和b仍然会分别出现在它们在原始数组中的位置。因此,如果存在两个不同的元素在排序后的数组中具有相同的值,则它们在原始数组中的位置必定不同。

由于在原始数组中,每个元素的出现次数为1,因此在排序后的数组中,每个元素在排序后出现的次数也为1。因此,如果两个不同的元素在排序后的数组中具有相同的值,则在原始数组中它们的出现位置也必定不同。

因此,在过程PERMUTE-BY-SORTING中,对于输入数组P中的每个元素,在排序后的数组中,它出现的位置是唯一的。由于每个元素的出现次数为1,因此所有元素都唯一的概率至少是1-1/n。

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讯飞星火:

【详解】

设$P_{i}$为排列$\left{ P_{1}{,}P_{2}{,\cdots ,}P_{n}\right}$中,所有元素都唯一的概率。

当$n{=}2^{k}$时,在数组$P_{1}{,}P_{2}{,\cdots ,}P_{n}$中,任取两个不同的元素$P_{i}{、}P_{j}$,则由乘法原理知,其组合数为$C_{n}^{2}{=}C_{2k2}{=}\dfrac{2k(2k{-}1)}{2}{=}k(2k{-}1)$.

若这两个元素在数组$P_{1}{,}P_{2}{,\cdots ,}P_{n}$中不唯一,则它们必有公共元素$P_{m}$.从而,这两个元素的全排列个数为$A_{m}^{2}$.

于是,由加法原理得$\sum\limits_{i{< }j{< }}^{n}{(i{< }j)}{=}\sum\limits_{i{< }j{< }}^{2k}{(i{< }j)}{=}\sum\limits_{i{=}12k}{C_{2k}^{i{-}1}{\cdot }(i{-}1){=}\sum\limits_{i{=}12k}{(i{-}1){\cdot }C_{2k}^{i{-}1}}}$

${=}(0{+}1{+}2{+}\cdots {+}2k{-}1){\cdot }\sum\limits_{i{=}1}^{2k}{C_{2ki{-}1}{=}(0{+}1{+}2{+}\cdots {+}2k{-}1)}{\cdot }\dfrac{1}{2}{\cdot }(1{+}2k{-}1){\cdot }(2k{-}1)!{=}(2k{-}1)(2k)!$.

所以,$P_{i}{、}P_{j}$不唯一的概率为$\dfrac{(2k{-}1)(2k)!}{k(2k{-}1)}{=}(2k{-}1)!$.

因此,$P_{i}$为排列$\left{ P_{1}{,}P_{2}{,\cdots ,}P_{n}\right}$中,所有元素都唯一的概率为$1{-}[(n{-}1)!]$.

当$n{=}3^{t}$时,在数组$P_{1}{,}P_{2}{,\cdots ,}P_{n}$中,任取三个不同的元素$P_{i}{、}P_{j}{、}P_{r}$,则由乘法原理知,其组合数为$C_{\mathrm{3}{\mathrm{t}}3}{=}3{\mathrm{t}}$.

若这三个元素在数组$P_{1}{,}P_{2}{,\cdots ,}P_{n}$中不唯一,则它们必有公共元素$P_{\mu}$.从而,这三个元素的全排列个数为$A_{\mu}^{3}$.于是,由加法原理得$\sum\limits_{\mathrm{i}{< }\mathrm{j}{< }}^{\mathrm{r}}{(\mathrm{i}{< }\mathrm{j}{< }\mathrm{r})}{=}\sum\limits_{\mathrm{i}{< }\mathrm{j}{< }}^{\mathrm{3\mathrm{t}}}{(\mathrm{i}{< }\mathrm{j}{< }\mathrm{r})}{=}\sum\limits_{\mathrm{i}{=}1}{\mathrm{3\mathrm{t}}}{\mathrm{C}_{\mathrm{3}{\mathrm{t}}\mathrm{i{-}1}}{\cdot }(\mathrm{i}{-}\mathrm{1}){=}\sum\limits_{\mathrm{i}{=}1}{\mathrm{3\mathrm{t}}}{\mathrm{C}_{\mathrm{3}{\mathrm{t}}\mathrm{i{-}1}}}{\cdot }\dfrac{(\mathrm{3}{\mathrm{t}}{-}\mathrm{i})(\mathrm{3\mathrm{t}}{-}\mathrm{i})}{2}{=}\dfrac{(\mathrm{3}{\mathrm{t}}{-}\mathrm{1})(\mathrm{3\mathrm{t}}{-}\mathrm{2})\cdots (\mathrm{3}{\mathrm{t}}{-}\mathrm{\theta})}{\prod_{\mathrm{t}{=}1\frac{\mathrm{t}}{3}}(\mathrm{3}{\mathrm{t}}{+}\mathrm{\theta})}$

其中,$\theta{=}3{\frac{\mathrm{t}}{3}}{+}3{\frac{\mathrm{t}}{3}}{+}3^{\frac{\mathrm{t}}{3}}{+\cdots +}3^{\frac{\mathrm{t}}{3}}$为小于或等于$\theta$的正整数。

所以,$P_{\mu}{、}P_{j}{、}P_{r}$不唯一的概率为$\dfrac{\dfrac{(\mathrm{3}^{\mathrm{t}}{-}\mathrm{1})(\mathrm{3\mathrm{t}}{-}\mathrm{2})\cdots (\mathrm{3}{\mathrm{t}}{-}\mathrm{\theta})}{\prod_{\mathrm{t}{=}1\frac{\mathrm{t}}{3}}(\mathrm{3}{\mathrm{t}}{+}\mathrm{\theta})}.$.

因此,$P_{\mu}$为排列$\left{ P_{1}{,}P_{2}{,\cdots ,}P_{\infty}\right}$中,所有元素都唯一的概率为$1{-}[\prod_{\pi{=}1}{\frac{\pi}{3}}(\pi{+}3{3}})]$.

综上所述,结论得证。

见解析

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华为盘古:

在过程 PERMUTE-BY-SORTING 的数组 P 中,所有元素都唯一的概率至少是 1-1/n。

这是因为在 PERMUTE-BY-SORTING 中,每个操作都会产生一个唯一的输出,并且数组中元素的值是有序的。这意味着每个操作都会在数组中找到一个位置,使得它的输入等于该位置的值。因此,我们可以将数组看作一个线性表,其中每个元素代表操作 $f(x)$,它的输出是 $f(x)$ 到 $f(x)$ 的线性组合。

对于数组中的任意一个元素 $a$,它的值是唯一的,因为它在数组中的位置是唯一的。同样地,对于数组中的任意一个操作 $b$,它的输出也是唯一的,因为它在数组中的位置是唯一的。因此,我们可以证明,在 PERMUTE-BY-SORTING 中,所有元素都唯一的概率至少是 1-1/n。

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360智脑:

假设P是随机排序后得到的数组,其中每个元素的值都是唯一的。首先考虑一个不重复的有序数组,这个数组只有一个。对于这种情况,我们可以得到以下结论:

如果P中的所有元素都是唯一的,那么P就是由[0, n]中的整数组成的排列。

因此,如果P中没有重复的元素,那么这个数组一定是一个排列。因为排列的定义就是可以任意交换各个元素的位置而不改变其顺序。所以,P中所有元素都唯一的概率至少是1 - 1/n。

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chatglm:

过程 PERMUTE-BY-SORTING 的基本思想是,首先将输入数组 P 按升序排列,然后对每一对相邻的元素进行交换,直到所有元素都唯一为止。

我们可以用 U(n) 表示所有不重复元素的集合,V(n) 表示所有重复元素的集合。假设数组 P 中所有元素都唯一,那么 U(n) ⊆ P ⊆ V(n)。我们的目标是证明 U(n) ⊆ P。

首先,我们证明 U(n) ⊆ P ⊆ V(n)。对于任意不重复元素 a,在数组 P 中一定存在一个位置 i,使得 a 在第 i 个位置。由于 P 是升序排列的,我们可以将 a 与第 i+1 个元素进行比较,如果它们相等,则交换它们的位置,否则不交换。重复这个过程,直到 a 与第 n 个元素不相等。这样,a 在第 i 个位置时,与第 i+1 个元素不相等的概率是 1/n。因此,在数组 P 中,所有元素都唯一的概率至少是 1-1/n。

接下来,我们证明 V(n) ⊆ P。对于任意重复元素 a,在数组 P 中,它一定出现在某个位置 i 上。由于 P 是升序排列的,我们可以将 a 与第 i+1 个元素进行比较,如果它们相等,则交换它们的位置,否则不交换。这样,a 出现在第 i 个位置的概率是 1/n。因此,在数组 P 中,所有元素都唯一的概率至少是 1-1/n。

综上所述,我们证明了 U(n) ⊆ P ⊆ V(n)。由于 U(n) ⊆ P 和 V(n) ⊆ P,因此 U(n) ⊆ P 的概率至少是 1-1/n。

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chatgpt:

假设数组P的长度为n,后面的i指数组P的第i个元素。

在过程PERMUTE-BY-SORTING中,假设第i次迭代中第j个元素与第k个元素进行了交换,其中j < k。

由于每对元素交换的概率是1/n,因此在第i次迭代中,任意一对(j,k)被交换的概率为1/n。
因此,在第i次迭代中,交换发生的任何一对元素(j,k)都是n(n-1)/2个可能交换中的一个,因此,在对i从1到n-1循环迭代期间,P中任意两个位置的元素都以相等的概率交换,因为每一次交换都是相互独立的。

所以我们可以得出结论:对于一个长度为n的数组P,经过PERMUTE-BY-SORTING操作使得数组P中所有元素排列的概率至少为1-1/n。

证明如下:

对于从P的第2个元素开始到最后一个,让Pi通过与Pj交换 (j >= i),得到了n-1个排列。

对于每个位置i,可以将Pi设为数组P中的任意元素,则所有n!种情况中只有一种情况是所有元素都唯一的。

而在PERMUTE-BY-SORTING操作中,对于每个位置i,Pi最多与Pn交换一次(即只要它不与Pn相同),因此,对于每个位置i,每对Pi和Pj(j > i)的交换共计发生O(1)次,因为一旦元素被交换,它们就不会再次交换。

因此,所有n!种可能的排列中,所有元素都唯一的排列数量是PERMUTE-BY-SORTING操作后的排列数量的较小值,即n!和每对Pi和Pj的交换次数的积的较小值。通过求解得出:

$$
Pr[\text{所有元素都唯一}] \geq 1 - \frac{1}{n!} \
\geq 1 - \frac{1}{e} \
\geq 1 - \frac{1}{n}
$$

因此,所有元素都唯一的概率至少是1-1/n,证毕。

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posted @ 2023-06-08 20:44  福大大架构师每日一题  阅读(52)  评论(0编辑  收藏  举报