2023-05-14：你的赛车可以从位置 0 开始，并且速度为 +1 ，在一条无限长的数轴上行驶， 赛车也可以向负方向行驶， 赛车可以按照由加速指令 ‘A‘ 和倒车指令 ‘R‘ 组成的指令序列自动行驶
2023-05-14：你的赛车可以从位置 0 开始，并且速度为 +1 ，在一条无限长的数轴上行驶，
赛车也可以向负方向行驶，
赛车可以按照由加速指令 'A' 和倒车指令 'R' 组成的指令序列自动行驶。
当收到指令 'A' 时，赛车这样行驶：
position += speed，
speed *= 2。
当收到指令 'R' 时，赛车这样行驶：
如果速度为正数，那么speed = -1，
否则 speed = 1，
当前所处位置不变。
例如，在执行指令 "AAR" 后，赛车位置变化为 0 --> 1 --> 3 --> 3，
速度变化为 1 --> 2 --> 4 --> -1，
给你一个目标位置 target ，返回能到达目标位置的最短指令序列的长度。
输入：target = 3。
输出：2。
答案2023-05-14：
算法1 - Dijkstra 算法
1.初始化
1.1.设置变量 maxp，表示当前速度下能达到的最大位置，同时计算最大速度 maxs；
1.2.初始化一个优先队列（堆），保存状态 state{speed, cost, position}，其中 speed 表示当前速度，cost 表示到达该状态所需的步数，position 表示当前位置；
1.3.根据最初的位置和速度创建初始状态，将其压入优先队列中。
2.Dijkstra 算法遍历状态空间
2.1.从优先队列中取出当前代价最小/速度绝对值最大的状态 state0；
2.2.若该状态满足目标条件，则返回其代价 cost；
2.3.否则，考虑在该状态基础上执行 A 或 R 操作后能够到达的状态：
2.3.1.若执行 A 操作，则新状态为 {speed+1, cost+1, position+(1<<(speed-1))}，必须满足新位置不超过 maxp、未访问过；
2.3.2.若执行 R 操作，则新状态为 {speed>0?-1:1, cost+1, position}，无需判断是否超过边界、未访问。
2.4.将所有可行的新状态加入优先队列，并继续进行 Dijkstra 遍历。
3.返回 -1，如果无法到达目标位置。
时间复杂度：O(T log T)，其中 T 是目标位置 target。每个状态最多被扩展一次，因此总共扩展的状态数不会超过 O(T)。在优先队列中插入和弹出元素的时间复杂度为 O(log T)，因此总时间复杂度为 O(T log T)。
空间复杂度：O(T log T)。需要开辟一个大小为 O(T log T) 的优先队列、两个大小为 O(T log T) 的二维数组 visitedPositive 和 visitedNegative，以及一个大小为 O(T) 的判断是否访问过的数组。
算法2 - 动态规划
1.初始化
1.1.创建长度为 target+1 的数组 dp，用于保存到达每个位置的最短步数；
1.2.调用 process(target, dp) 函数进行递归求解。
2.递归求解
2.1.若 dp[target] > 0，说明已经计算过到达该位置的最短步数，直接返回 dp[target]；
2.2.计算当前速度下能够到达的最远位置 maxp 和最大速度 maxs；
2.3.如果目标位置就在当前速度达不到的位置之前，则必须先倒车，再加速到目标位置；
若目标位置恰好与当前速度所达到的最远位置相同，则无需倒车。
2.4.对于以上情况，分别计算：
2.4.1.倒车后可以到达的位置 beyond = speed-1-target；
2.4.2.从新的位置开始加速到目标位置，需要的最短步数为 process(beyond, dp)，
在此基础上需要增加 1 次倒车操作和 1 次加速操作，因此总步数为 steps+1+process(beyond, dp)。
2.5.如果目标位置在当前速度达到的范围内，则直接加速即可。计算需要的最短步数，以及在此基础上还需要多少次加速操作（steps），
然后遍历所有加速操作的次数 back，计算倒车后可以到达的位置 lack 和需要的步数 steps+1+back+1+process(lack, dp)，
取其中的最小值即为当前情况下的最短步数。
2.6.将结果保存到数组 dp 中，并返回。
3.返回 dp[target]。
时间复杂度：O(T log T)。虽然是递归求解，但是可以使用记忆化优化，避免重复计算。每个位置最多只会被计算一次，因此总时间复杂度为 O(T)。
空间复杂度：O(T)。需要创建一个大小为 O(T) 的数组 dp 保存中间结果。
go完整代码如下：
package main
import (
"container/heap"
"fmt"
)
type state struct {
speed, cost, position int
}
type priorityQueue []state
func (pq priorityQueue) Len() int { return len(pq) }
func (pq priorityQueue) Less(i, j int) bool {
return pq[i].cost > pq[j].cost
}
func (pq priorityQueue) Swap(i, j int) { pq[i], pq[j] = pq[j], pq[i] }
func (pq *priorityQueue) Push(x interface{}) {
item := x.(state)
*pq = append(*pq, item)
}
func (pq *priorityQueue) Pop() interface{} {
old := *pq
n := len(old)
item := old[n-1]
*pq = old[0 : n-1]
return item
}
func abs(x int) int {
if x < 0 {
return -x
}
return x
}
func racecar1(target int) int {
maxp := 0
maxs := 1
for maxp <= target {
maxp += 1 << (maxs - 1)
maxs += 1
}
heap0 := &priorityQueue{}
visitedPositive := make([][]bool, maxs+1)
visitedNegative := make([][]bool, maxs+1)
for i := range visitedPositive {
visitedPositive[i] = make([]bool, maxp+1)
visitedNegative[i] = make([]bool, maxp+1)
}
heap.Push(heap0, state{
speed: 1,
cost: 0,
position: 0,
})
for heap0.Len() > 0 {
current := heap.Pop(heap0).(state)
speed := current.speed
cost := current.cost
position := current.position
if position == target {
return cost
}
if speed > 0 {
if visitedPositive[speed][position] {
continue
}
visitedPositive[speed][position] = true
add(
speed+1,
cost+1,
position+(1<<(speed-1)),
maxp,
heap0,
visitedPositive,
)
add(
-1,
cost+1,
position,
maxp,
heap0,
visitedNegative,
)
} else {
speed := -speed
if visitedNegative[speed][position] {
continue
}
visitedNegative[speed][position] = true
add(
-(speed + 1),
cost+1,
position-(1<<(speed-1)),
maxp,
heap0,
visitedNegative,
)
add(
1,
cost+1,
position,
maxp,
heap0,
visitedPositive,
)
}
}
return -1
}
func add(
speed int,
cost int,
position int,
limit int,
heap0 *priorityQueue,
visited [][]bool,
) {
if position >= 0 && position <= limit && !visited[abs(speed)][position] {
heap.Push(heap0, state{
cost: cost,
speed: speed,
position: position,
})
}
}
// 动态规划 + 数学
func racecar2(target int) int {
dp := make([]int, target+1)
return process(target, dp)
}
func process(target int, dp []int) int {
if dp[target] > 0 {
return dp[target]
}
steps := 0
speed := 1
for speed <= target {
speed <<= 1
steps++
}
ans := 0
beyond := speed - 1 - target
if beyond == 0 {
ans = steps
} else {
ans = steps + 1 + process(beyond, dp)
steps--
speed >>= 1
lack := target - (speed - 1)
offset := 1
for back := 0; back < steps; back++ {
ans = min(ans, steps+1+back+1+process(lack, dp))
lack += offset
offset <<= 1
}
}
dp[target] = ans
return ans
}
func min(a, b int) int {
if a < b {
return a
}
return b
}
func main() {
target := 3
result1 := racecar1(target)
result2 := racecar2(target)
fmt.Println(result1)
fmt.Println(result2)
target = 6
result1 = racecar1(target)
result2 = racecar2(target)
fmt.Println(result1)
fmt.Println(result2)
}
rust完整代码如下：
use std::cmp::Reverse;
use std::collections::BinaryHeap;
fn racecar1(target: i32) -> i32 {
let mut maxp = 0;
let mut maxs = 1;
while maxp <= target {
maxp += 1 << (maxs - 1);
maxs += 1;
}
// 0 : 几倍速
// 1 : 花费了几步
// 2 : 当前位置
let mut heap = BinaryHeap::new();
let mut positive = vec![vec![false; (maxp + 1) as usize]; (maxs + 1) as usize];
let mut negative = vec![vec![false; (maxp + 1) as usize]; (maxs + 1) as usize];
heap.push((Reverse(0), Reverse(1), Reverse(0)));
while let Some((Reverse(cost), Reverse(speed), Reverse(position))) = heap.pop() {
if position == target {
return cost;
}
if speed > 0 {
if positive[speed as usize][position as usize] {
continue;
}
positive[speed as usize][position as usize] = true;
add(
speed + 1,
cost + 1,
position + (1 << (speed - 1)),
maxp,
&mut heap,
&positive,
);
add(-1, cost + 1, position, maxp, &mut heap, &negative);
} else {
let speed = -speed;
if negative[speed as usize][position as usize] {
continue;
}
negative[speed as usize][position as usize] = true;
add(
-(speed + 1),
cost + 1,
position - (1 << (speed - 1)),
maxp,
&mut heap,
&negative,
);
add(1, cost + 1, position, maxp, &mut heap, &positive);
}
}
-1
}
fn add(
speed: i32,
cost: i32,
position: i32,
limit: i32,
heap: &mut BinaryHeap<(Reverse<i32>, Reverse<i32>, Reverse<i32>)>,
visited: &Vec<Vec<bool>>,
) {
if position >= 0 && position <= limit && !visited[speed.abs() as usize][position as usize] {
heap.push((Reverse(cost), Reverse(speed), Reverse(position)));
}
}
fn racecar2(target: i32) -> i32 {
let mut dp = vec![0; (target + 1) as usize];
process(target, &mut dp)
}
fn process(target: i32, dp: &mut Vec<i32>) -> i32 {
if dp[target as usize] > 0 {
return dp[target as usize];
}
let mut steps = 0;
let mut speed = 1;
while speed <= target {
speed <<= 1;
steps += 1;
}
let mut ans = 0;
let beyond = speed - 1 - target;
if beyond == 0 {
ans = steps;
} else {
ans = steps + 1 + process(beyond, dp);
steps -= 1;
speed >>= 1;
let mut lack = target - (speed - 1);
let mut offset = 1;
for back in 0..steps {
ans = ans.min(steps + 1 + back + 1 + process(lack, dp));
lack += offset;
offset <<= 1;
}
}
dp[target as usize] = ans;
ans
}
fn main() {
let target = 3;
let result1 = racecar1(target);
println!("{}", result1);
let result2 = racecar2(target);
println!("{}", result2);
let target = 6;
let result1 = racecar1(target);
println!("{}", result1);
let result2 = racecar2(target);
println!("{}", result2);
}
c语言第二种方法代码如下：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int racecar2_helper(int target, int* dp) {
if (dp[target] > 0) {
return dp[target];
}
int steps = 0;
int speed = 1;
while (speed <= target) {
speed <<= 1;
steps++;
}
int ans = 0;
int beyond = speed - 1 - target;
if (beyond == 0) {
ans = steps;
}
else {
ans = steps + 1 + racecar2_helper(beyond, dp);
steps--;
speed >>= 1;
int lack = target - (speed - 1);
int offset = 1;
for (int back = 0; back < steps; back++) {
ans = (ans < steps + 1 + back + 1 + racecar2_helper(lack, dp)) ?
ans : steps + 1 + back + 1 + racecar2_helper(lack, dp);
lack += offset;
offset <<= 1;
}
}
dp[target] = ans;
return ans;
}
int racecar2(int target) {
int* dp = (int*)calloc((target + 1), sizeof(int));
int result = racecar2_helper(target, dp);
free(dp);
return result;
}
int main() {
int target = 3;
printf("racecar2: %d", racecar2(target));
target = 6;
printf("racecar2: %d", racecar2(target));
return 0;
}
c++第二种方法代码如下：
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int racecar2_helper(int target, vector<int>& dp) {
if (dp[target] > 0) {
return dp[target];
}
int steps = 0;
int speed = 1;
while (speed <= target) {
speed <<= 1;
steps++;
}
int ans = 0;
int beyond = speed - 1 - target;
if (beyond == 0) {
ans = steps;
}
else {
ans = steps + 1 + racecar2_helper(beyond, dp);
steps--;
speed >>= 1;
int lack = target - (speed - 1);
int offset = 1;
for (int back = 0; back < steps; back++) {
ans = min(ans, steps + 1 + back + 1 + racecar2_helper(lack, dp));
lack += offset;
offset <<= 1;
}
}
dp[target] = ans;
return ans;
}
int racecar2(int target) {
vector<int> dp(target + 1, 0);
return racecar2_helper(target, dp);
}
int main() {
int target = 3;
cout << "racecar2: " << racecar2(target) << endl;
target = 6;
cout << "racecar2: " << racecar2(target) << endl;
return 0;
}
