文心一言 VS chatgpt (10)-- 算法导论 3.1 2~3题

二、证明:对任意实常量a和b,其中b>0,有(n+a) ^ b=O(n ^ b)。

文心一言:

设a=b,则有(n+a) ^ b=(n+b)(n+a)=n ^ b+n ^ b =O(n ^ b)
因此,对任意实常量a和b,其中b>0,有(n+a) ^ b=O(n ^ b)。

在这里插入图片描述

chatgpt:

要证明 (n+a)^b = O(n^b),我们需要找到一个正常量 C 和一个正整数 N,使得对任意 n >= N,都有 (n+a)^b <= C * n^b

考虑当 n >= 1 时,有

(n + a)^b
= (n(1 + a/n))^b
= n^b * (1 + a/n)^b
<= n^b * (1 + b(a/n))
= n^b + abn^(b-1)

因为 b > 0,所以 b - 1 >= 0。因此,存在正整数 N = 1 和正常量 C = 1 + |a| + |b|,使得对于任意 n >= N

(n + a)^b
<= n^b + |ab|n^(b-1) + |a|n^b + |b|n^b
<= (1 + |a| + |b|)n^b
= C*n^b

因此,我们证明了 (n+a)^b = O(n^b),其中正常量 C = 1 + |a| + |b| 和正整数 N = 1
在这里插入图片描述

三、解释为什么“算法 A 的运行时间至少是 O(n ^ 2)”这一表述是无意义的。

文心一言:

在这里插入图片描述

chatgpt:

“算法 A 的运行时间至少是 O(n ^ 2)”这一表述是无意义的,因为大 O 表示的是算法的渐进上界。也就是说,当问题规模足够大时(也就是输入大小趋近于无穷大时),算法 A 的运行时间最多能达到 O(n ^ 2)。

如果我们要描述算法 A 的确切运行时间,应该使用θ符号表示渐进紧确上界,或者使用常量符号表示精确的运行时间。例如,“算法 A 的运行时间是 θ(n ^ 2)”表示算法 A 的确切运行时间在 n^2 的数量级内,而“算法 A 的运行时间是 5n^2 + 3n + 2”表示算法 A 的确切运行时间为 5n^2 + 3n + 2。

因此,表述“算法 A 的运行时间至少是 O(n ^ 2)”并不严谨和准确,因为它没有给出算法 A 的确切运行时间上界,并且省略了对问题规模足够大时的条件限制。

在这里插入图片描述

posted @ 2023-04-15 19:11  福大大架构师每日一题  阅读(33)  评论(0编辑  收藏  举报  来源