2020-09-22:已知两个数的最大公约数和最小公倍数,并且这两个数不能是最大公约数和最小公倍数本身。如何判断这两个数是否存在?
福哥答案2020-09-22:#福大大架构师每日一题#
1.如果最小公倍数不能被最大公约数整除,不存在这两个数。
2.求【商】=【最小公倍数/最大公约数】。
3.判断【商】是否是质数,如果是,直接返回false。这个步骤可以不要。
4.幂次方缩小【商】范围,如果【商】是a的b次方,【商】变成a。
5.判断【商】是否是质数,如果是,直接返回false。
6.经过所有考验,返回true。
代码用python语言编写。代码如下:
# -*-coding:utf-8-*- import math # 求快速幂。ret = a^b%p。 def quick_power(a, b, p): """ 求快速幂。ret = a^b%p。 Args: a: 底数。大于等于0并且是整数。 b: 指数。大于等于0并且是整数。 p: 模数。大于0并且是整数。 Returns: 返回结果。 Raises: IOError: 无错误。 """ a = a % p ans = 1 while b != 0: if b & 1: ans = (ans * a) % p b >>= 1 a = (a * a) % p return ans # 求num的exp开方,exp是指数,num是结果。求底数。 def _get_sqrt_range(num, right, exp=2): """ 求num的exp开方,exp是指数,num是结果。求底数。 Args: num: 大于等于0并且是整数。 right: 大于等于0并且是整数。右边界。 exp: 大于等于0并且是整数。 Returns: 返回元组,表示一个开方范围。 Raises: IOError: 无错误。 """ left = 1 if num == 0: return 0, 0 if num == 1: return 1, 1 if num == 2 or num == 3: return 1, 2 while True: mid = (left + right) // 2 if mid ** exp > num: right = mid if left ** exp == num: return left, left if left + 1 == right: return left, right elif mid ** exp < num: left = mid if right ** exp == num: return right, right if left + 1 == right: return left, right if mid == 1: return 1, 2 else: return mid, mid # 求对数范围 def get_log_range(num, basenum): """ 求对数范围。 Args: num: 数,大于等于1并且是整数。 basenum: 底数,大于等于2并且是整数。 Returns: 返回结果。对数范围。 Raises: IOError: 无错误。 """ if num == 1: return 0, 0 else: n = 0 ism = 0 while num >= basenum: if ism == 0 and num % basenum != 0: ism = 1 n += 1 num //= basenum return n, n + ism # 判断幂次方,并且返回底数 def is_power2(num): """ 判断n是否是一个数的幂次方形式。 Args: num: 大于等于0并且是整数。 Returns: 返回结果。true是幂数 Raises: IOError: 无错误。 """ if num <= 3: return False, 0 else: log_range = get_log_range(num, 2) if log_range[0] == log_range[1]: return True, 2 expmax = log_range[0] expmin = 2 exp = expmin sqrt = 0 right = 2 ** (1 + log_range[0] // 2) while exp <= expmax: sqrt = _get_sqrt_range(num, right, exp) right = sqrt[0] # 缩小右边界范围 if sqrt[0] == sqrt[1]: return True, sqrt[0] if sqrt == (1, 2): return False, 0 exp += 1 return False, 0 # 米勒-拉宾素性检验是一种概率算法,但是,Jim Sinclair发现了一组数:2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504, 1795265022。用它们做 [公式] , [公式] 以内不会出错,我们使用这组数,就不用担心运气太差了。 def is_prime_miller_rabin(num): """ 判断是否是素数。米勒拉宾素性检验是一种概率算法 可能会把合数误判为质数。 Args: num: 大于等于2并且是整数。 Returns: 返回结果。true为素数;false是非素数。 Raises: IOError: 无错误。 """ # num=(2^s)*t a = 2 # 2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504, 1795265022 s = 0 t = num - 1 num_1 = t if num == 2: return True if not (num % 2): return False while not (t & 1): t >>= 1 s += 1 k = quick_power(a, t, num) if k == 1: return True j = 0 while j < s: if k == num_1: return True j += 1 k = k * k % num return False # 综合法 def is_prime_comprehensive(num): """ 判断是否是素数。综合算法:试除法+米勒拉宾素性检验 可能会把合数误判为质数。 Args: num: 大于等于2并且是整数。 Returns: 返回结果。true为素数;false是非素数。 Raises: IOError: 无错误。 """ if num <= 1: return False if num == 2: return True if num & 1 == 0: return False # 100以内的质数表 primeList = [3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97] # 质数表是否能整除 for prime in primeList: if num == prime: return True if num % prime: if prime * prime >= num: return True else: return False # 米勒拉宾素性检验 return is_prime_miller_rabin(num) # 已知两个数的最大公约数和最小公倍数,并且这两个数不能是最大公约数和最小公倍数本身。如何判断这两个数是否存在? def is_exist_two_nums_by_gcd_lcm_not(gcd, lcm): """ 已知两个数的最大公约数和最小公倍数,并且这两个数不能是最大公约数和最小公倍数本身。如何判断这两个数是否存在? Args: gcd: 大于等于1并且是整数。最大公约数。 lcm: 大于等于1并且是整数。最小公倍数。 Returns: 返回True,说明存在。 Raises: IOError: 无错误。 """ # 1.如果最小公倍数不能被最大公约数整除,不存在这两个数。 if lcm % gcd != 0: return False # 2.求【商】=【最小公倍数/最大公约数】。 quotient = lcm // gcd # 3.判断【商】是否是质数,如果是,直接返回false。这个步骤可以不要。 if is_prime_comprehensive(quotient): return False # 4.幂次方缩小【商】范围,如果【商】是a的b次方,【商】变成a。 isloop = True quotienttemp = 0 while isloop: isloop, quotienttemp = is_power2(quotient) if isloop: quotient = quotienttemp # 5.判断【商】是否是质数,如果是,直接返回false。 if is_prime_comprehensive(quotient): return False # 6.经过所有考验,返回true。 return True if __name__ == "__main__": gcd = 5 lcm = 35 print("gcd = ", gcd, ",lcm = ", lcm, ",", is_exist_two_nums_by_gcd_lcm_not(gcd, lcm)) gcd = 5 lcm = 20 print("gcd = ", gcd, ",lcm = ", lcm, ",", is_exist_two_nums_by_gcd_lcm_not(gcd, lcm)) gcd = 3 lcm = 60 print("gcd = ", gcd, ",lcm = ", lcm, ",", is_exist_two_nums_by_gcd_lcm_not(gcd, lcm))
代码结果执行如下:
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