2020-09-13：判断一个正整数是a的b次方，a和b是整数，并且大于等于2，如何求解？

福哥答案2020-09-13：

首先确定b的范围，b的范围一定在[2,logN]里。然后遍历b，求a的范围，如果范围长度等于0，说明这个正整数是a的b次方。
1.遍历b范围。二分法求a，a初始范围是[2,logN]。2的400次方耗时5秒。【有代码】
2.遍历b范围。优化二分法求a，a初始范围是[2,上一次a的结果]。2的10000次方耗时5秒。【有代码】
3.应该有更优化的方案，暂时没想到。【无代码】

因为用到了大整数，所以用python语言编写。代码如下：

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

#!/usr/bin/python3
import time
from functools import wraps
def _get_sqrt_range(num, right, exp=2):
    """
        求num的exp开方,exp是指数，num是结果。求底数。
        Args:
            num: 大于等于0并且是整数。
            right: 大于等于0并且是整数。右边界。
            exp: 大于等于0并且是整数。
        Returns:
            返回元组，表示一个开方范围。
        Raises:
            IOError: 无错误。
    """
    left = 1
    if num == 0:
        return 0, 0
    if num == 1:
        return 1, 1
    if num == 2 or num == 3:
        return 1, 2
    while True:
        mid = (left + right) // 2
        if mid ** exp > num:
            right = mid
            if left ** exp == num:
                return left, left
            if left + 1 == right:
                return left, right
        elif mid ** exp < num:
            left = mid
            if right ** exp == num:
                return right, right
            if left + 1 == right:
                return left, right
            if mid == 1:
                return 1, 2
        else:
            return mid, mid
 
 
def get_log_range(num, basenum):
    """
        求对数范围。
        Args:
            num: 数，大于等于1并且是整数。
            basenum: 底数，大于等于2并且是整数。
        Returns:
            返回结果。对数范围。
        Raises:
            IOError: 无错误。
    """
    if num == 1:
        return 0, 0
    else:
        n = 0
        ism = 0
        while num >= basenum:
            if ism == 0 and num % basenum != 0:
                ism = 1
            n += 1
            num //= basenum
        return n, n + ism
 
def timefn(fn):
    """计算性能的修饰器"""
    @wraps(fn)
    def measure_time(*args, **kwargs):
        t1 = time.time()
        result = fn(*args, **kwargs)
        t2 = time.time()
        print(f"@timefn: {fn.__name__} took {t2 - t1: .5f} s")
        return result
    return measure_time
 
@timefn
def is_power1(num):
    """
        判断n是否是一个数的幂次方形式。
        Args:
            num: 大于等于0并且是整数。
        Returns:
            返回结果。true是幂数
        Raises:
            IOError: 无错误。
    """
    if num <= 3:
        return False
    else:
        log_range = get_log_range(num, 2)
        if log_range[0] == log_range[1]:
            return True
        expmax = log_range[0]
        expmin = 2
        exp = expmin
        sqrt = 0
        right = 2 ** (1 + log_range[0] // 2)
        while exp <= expmax:
            sqrt = _get_sqrt_range(num, right, exp)
            # right = sqrt[0]#缩小右边界范围
            if sqrt[0] == sqrt[1]:
                return True
            if sqrt == (1, 2):
                return False
            exp += 1
        return False
 
@timefn
def is_power2(num):
    """
        判断n是否是一个数的幂次方形式。
        Args:
            num: 大于等于0并且是整数。
        Returns:
            返回结果。true是幂数
        Raises:
            IOError: 无错误。
    """
    if num <= 3:
        return False
    else:
        log_range = get_log_range(num, 2)
        if log_range[0] == log_range[1]:
            return True
        expmax = log_range[0]
        expmin = 2
        exp = expmin
        sqrt = 0
        right = 2 ** (1 + log_range[0] // 2)
        while exp <= expmax:
            sqrt = _get_sqrt_range(num, right, exp)
            right = sqrt[0]  # 缩小右边界范围
            if sqrt[0] == sqrt[1]:
                return True
            if sqrt == (1, 2):
                return False
            exp += 1
        return False
 
 
if __name__ == "__main__":
    print("----2的400次方")
    num = 2 ** 400 + 1
    print(is_power1(num))
    print(is_power2(num))
    print("\r\n----2的10000次方")
    num = 2 ** 10000 + 1
    print(is_power2(num))