三大博弈[转]

博弈论：

本篇主要以取石子游戏为例，简单介绍以下博弈论。共有 3 种类型：

（一）巴什博弈（Bash Game）：

只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取 m 个。最后取光者得胜。

显而易见，当剩余的石子个数为 1，2...m 时，此状态必为必胜状态，由此可知，当剩余的石子个数为 m+1时为必败状态，但是当剩余石子个数为 m+2, m+3 ... 2m+1 时，玩家可以取走一定量的石子，使剩余的石子数为必败状态的 m+1 个石子，故当剩余石子个数为 m+2, m+3 ... 2m+1 时为必胜状态。以此类推，可知当石子数为 k*( m+1 ) 时为必败状态。据此可解。

（二）威佐夫博弈（Wythoff Game）：

有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。即：

有两堆石子，不妨先认为一堆有10，另一堆有15个，双方轮流取走一些石子，合法的取法有如下两种：

1)在一堆石子中取走任意多颗；

2)在两堆石子中取走相同多的任意颗；

约定取走最后一颗石子的人为赢家，求必败态(必胜策略)。

对于这种博弈，网上有很多，但基本相同，并且只是给出了一个很经典的公式，但很少有介绍公式的推倒的，据说这是个巨复杂的过程。在此，也不打算解释。有兴趣的可以参考以下链接：

http://yjq24.blogbus.com/logs/42826226.html

该公式可描述为：

如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）.可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk=ak+k.

那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：

ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，...,n 方括号表示取整函数)

奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 = 1。618...,因此,由ak，bk组成的矩形近似为黄金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1+ j + 1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。

（三）尼姆博弈（Nimm Game）：

有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

首先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。

对于任何奇异局势(a,b,c)，都有a^b^c=0.

非奇异局势(a,b,c)(a<b<c)转换为奇异局势，只需将c变为a^b，即从c中减去 c-(a^b)即可。

当然，该博弈也可推广到多堆石子，同样也可以是两堆石子（要注意此时它与威佐夫博弈的区别）

具体可参考以下链接：

http://sites.google.com/site/lene13/Home/sophi-mass/0-7

以上主要来自其它参考文献，由本人略加整理，以作备忘。