Levenberg-Marquardt迭代（LM算法）-改进Guass-Newton法

              1、前言

                               a、对于工程问题，一般描述为：从一些测量值（观测量）x 中估计参数 p？即x = f(p)，

                             其中，x为测量值构成的向量，参数p为待求量，为了让模型能适应一般场景，这里p也为向量。

                             这是一个函数求解问题，可以使用Guass-Newton法进行求解，LM算法是对Newton法的改进。

                         c、如果函数f为线性函数，那这个问题就变成了最小二乘问题（请参阅我另一篇博客：最小二乘法），

                         d、这篇博客中讲解的LM法、Newton法主要用于函数f为非线性函数的情况。

              2、x = f(p)问题的Newton法求解

                               当迭代到第k次的时候得到参数p_k，其中\varepsilon_k为残差：

                                              x-f({p_k})={\varepsilon_k}\quad(1)

                         对f(p)进行一阶泰勒公式展开,J为Jacobi(雅可比)矩阵，因为参数p是个向量，因此对p的求导即对p逐个元素求偏导：

                                              f({p_{k+1}})=f({p_k}+\Delta)\approx{f({p_k})+J\Delta}\quad(2)

                         计算第k+1次的残差：

                                              x-f({p_{k+1}})=x-f({p_k})-J\Delta={\varepsilon_k}-J\Delta\quad(3)

                         通过第k次到第k+1次的迭代，

                         可以发现已经把非线性问题x-f({p_{k+1}})=0转化为线性求解{\varepsilon_k}-J\Delta=0，则最小二乘解为：

                                              {J^T}J\Delta={J^T}{\varepsilon_k}\quad(4)

                                              \Delta={({J^T}J)^{-1}}{J^T}{\varepsilon_k}\quad(5)

                         则k+1次的参数p为：

                                              {p_{k+1}}={p_k}+\Delta\quad(6)

              3、加权Newton迭代

                               在Newton法中，所有的因变量都是等量加权的，除此之外，可以使用一个加权的矩阵对因变量进行加权。

                         例如，当测量矢量 x 满足一个协方差矩阵为{\Sigma_x}的高斯分布，且希望最小化Mahalanobis距离||x-f(p)|{|_\Sigma}。

                                 当这个协方差矩阵可以是对角的，则表示 x 各坐标之间相互独立。

                                 当协方差矩阵为正定对称矩阵时，正规变为：

                                             {J^T}{\Sigma^{-1}}J{\Delta_k}={J^T}{\Sigma^{-1}}{\varepsilon_k}\quad(7)

                                             {\Delta_k}={({J^T}{\Sigma^{-1}}J)^{-1}}{J^T}{\Sigma^{-1}}{\varepsilon_k}\quad(8)

                                   备注：马氏距离d(x,y)=\sqrt{{{(x-y)}^T}{\Sigma^{-1}}(x-y)}

                         通过协方差反向传播，一阶近似下的协方差可以这么计算：

                                   \Sigma={({J^T}\Sigma{_x^{-1}}J)^{-1}}

                         如果不可逆，那这个取逆过程为广义逆。

              4、Levenberg-Marquardt迭代（LM算法）

                               LM算法是对Newton迭代的改进。

                        （4）式的正规方程可以简化写成：N\Delta={J^T}J\Delta={J^T}\varepsilon

                         LM算法将上式改为：N'\Delta={J^T}\varepsilon，其中{N_{ii}^'}=(1+\lambda){N_{ii}}，即N的对角线元素乘以(1+\lambda)，非对角线元素不变{N_{ij}^'}={N_{ij}}\quad(i{\ne}j)

                         \lambda的设定策略为：在初始化时，\lambda通常设定为{10^{-3}}。

                                             如果通过解增量正规方程得到的\Delta导致误差减小，那么接受该增量并在下一次迭代前将\lambda除以10。

                                             反之，如果\Delta值导致误差增加，那么将\lambda乘以10并重新解增量正规方程，继续这一过程直到求出的一个误差下降的\Delta为止。

                                             对不同的\lambda重复地解增量正规方程直到求出一个可以接受的\Delta。

                               LM算法的直观解释：当\lambda非常小时，该方法与Newton迭代本质相同。

                                                 当\lambda非常大时（本质上大于1），此时{J^T}J的非对角线元素相对于对角元素而言变得不重要，此时算法倾向于下降法。

                                                  LM算法在Newton迭代和下降方法之间无缝地移动，Newton法将使得算法在解的领域附近快速收敛，下降法使得算法在

                                                  运行困难时保证代价函数是下降的。

              5、Newton法（LM法）两个适用场景的转换

                               a、在上一篇博客Newton法（牛顿法 Newton Method）中讲述了牛顿法适用的两个场景：1、函数求解；2、目标函数的最优化求解

                             上一篇博客中的f(x)相当于这篇博客中的 x –f(p)，上一篇博客中是为了求x，这篇博客中是已知x，求p，只是表述不同。

                               b、这两个场景有时候是可以相互转换的：

                             例如：函数求解问题 f(x) = 0，那也可以认为是求解 min||f（x)||，其中||.||表示二范数，即\min{f^2{(x)}}

                             例如：目标函数优化问题 min ||f(x)||，当这个优化问题的理论最优解就是为 0 时，那么这个问题也可以转化为求解 f(x) = 0

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posted @ 2016-03-07 08:31  neu博  阅读(16442)  评论(0)  编辑  收藏  举报