矩阵快速幂

合集 - 蒟蒻的打怪升级之路(26)

1.CF-925（已更新：D-F）2024-02-142.2024牛客寒假算法基础集训营32024-02-133.CF-926(已更新：B-C)2024-02-164.CF-927(已更新：B C E)2024-02-195.CF-928(已更新：B C D E)2024-02-206.2024牛客寒假算法集训营4 (已更新：B-E)2024-02-207.CF EDU-162 (已更新：A-C+D的代码)2024-02-248.At-abc3422024-02-259.蒟蒻的补档题(长期更新)2024-03-0810.CF-929(已更新：B-E)2024-02-2811.CF-931（已更新：AB代码）2024-03-0212.PowerOj 2024-康复赛 (待更新)2024-03-0613.CF-932(已更新 A B)2024-03-06

14.矩阵快速幂2024-03-13

15.CF-933(已更新：B-D)2024-03-1216.数论分块2024-03-1517.CF-Edu-163（已更新：A B）2024-03-1618.CF-936(AB)2024-03-2319.AT-abc347（C-E）2024-04-0520.CF-938(C-E)2024-04-1821.CF-943(已更B-E,G1)2024-05-0322.CF-945(已更A,B)2024-05-1823.CF-956(A-D)2024-07-0824.CF-957(D-E)2024-07-1425.CF-959（C-E）2024-07-2026.Codeforces Round 967 (Div. 2)-D2024-08-22

收起

矩阵快速幂

例题

• 6.方程【算法赛】 - 蓝桥云课
• P1962 斐波那契数列 - 洛谷
• P2455 SDOI2006 - 洛谷
• P7112 【模板】行列式求值 - 洛谷
• P1939 矩阵加速（数列） - 洛谷

我们线代课已经讲到矩阵了，自己也终于把之前卡了好久的矩阵快速幂的题过了ヾ(≧▽≦*)o

补充知识

矩阵与矩阵乘：矩阵A左乘矩阵B，记作AB；只有A的列数等于B的行数时才可相乘

P1962 斐波那契数列 - 洛谷

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define endl '\n'
#define int long long
#define db(x) cout<<x<<" "<<endl;
#define _db(a,n) for(int i=1;i<=n;i++) cout<<a[i]<<" ";cout<<endl;
#define mem(a) memset(a,0, sizeof(a))
#define rep(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define per(i,r,l) for(int i=r;i>=l;i--)
const int M=1e9+7;
struct matrix{
	int c[3][3];
	matrix(){//使每次声明matrix的变量时初始化c数组 
		memset(c,0,sizeof(c));
	}
}F,A;
matrix operator*(matrix &a,matrix &b){//重载的乘法运算符*
	matrix t;
	//矩阵乘 
	rep(i,1,2){
		rep(j,1,2){
			rep(k,1,2){
				t.c[i][j]+=a.c[i][k]*b.c[k][j];
                t.c[i][j]%=M;
			}
		}
	}
	return t;
}
void qpow(int n){
	F.c[1][1]=F.c[1][2]=1;
	A.c[1][1]=A.c[1][2]=A.c[2][1]=1;
	//快速幂 
	while(n){
		if(n&1) F=F*A;
		A=A*A;
		n>>=1;
	}
}
void solve(){
	int n;cin>>n;
	if(n<=2){
		cout<<1;
		return;
	}
	qpow(n-2);//只运算n-2次 
	cout<<F.c[1][1];

}
signed main()
{
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
	//int t;cin>>t;while(t--)
	solve();
	return 0;
}

P1939 矩阵加速（数列） - 洛谷

分析&代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define endl '\n'
#define int long long
#define db(x) cout<<x<<" "<<endl;
#define _db(a,n) for(int i=1;i<=n;i++) cout<<a[i]<<" ";cout<<endl;
#define mem(a) memset(a,0, sizeof(a))
#define rep(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define per(i,r,l) for(int i=r;i>=l;i--)
const int M=1e9+7;
struct matrix{
	int c[4][4];
	matrix(){
		memset(c,0,sizeof(c));
	}
}F,A;
matrix operator*(matrix &a,matrix &b){
	matrix t;
	rep(i,1,3){
		rep(j,1,3){
			rep(k,1,3){
				t.c[i][j]+=(a.c[i][k]%M*b.c[k][j]%M)%M;
                t.c[i][j]%=M;
			}
		}
	}
	return t;
}
void qpow(int n){
    mem(F.c),mem(A.c);
	F.c[1][1]=F.c[1][2]=F.c[1][3]=1;
	A.c[1][3]=A.c[2][1]=A.c[3][2]=A.c[3][3]=1;
	while(n){
		if(n&1) F=F*A;
		A=A*A;
		n>>=1;
	}
}
void solve(){
	int n;cin>>n;
	if(n<=3){
		cout<<1<<endl;//之前因为没换行一直wa(⊙﹏⊙)
		return;
	}
	qpow(n-1);
	cout<<F.c[1][1]<<endl;

}
signed main()
{
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
	int t;cin>>t;while(t--)
	solve();
	return 0;
}

方程【算法赛】 - 蓝桥云课

寒假遇到的，现在学了矩阵快速幂才过……这题一共交了22次

分析

注意

• 将答案加上模数再取模主要是用于中间结果可能溢出的情况
• 直接对答案取模则适用于最终结果可以直接表示为ans模M的情况

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define endl '\n'
#define int long long
#define db(x) cout<<x<<" "<<endl;
#define _db(a,n) for(int i=1;i<=n;i++) cout<<a[i]<<" ";cout<<endl;
#define mem(a) memset(a,0, sizeof(a))
#define rep(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define per(i,r,l) for(int i=r;i>=l;i--)
const int M=1e9+7;
int k;
struct matrix{
	int c[3][3];
	matrix(){
		memset(c,0,sizeof(c));
	}
}F,A;
matrix operator*(matrix &a,matrix &b){
	matrix t;
	rep(i,1,2){
		rep(j,1,2){
			rep(k,1,2){
				t.c[i][j]=(t.c[i][j]+a.c[i][k]*b.c[k][j]%M)%M;
			}
		}
	}
	return t;
}
void qpow(int n){
    //mem(F.c),mem(A.c);
	F.c[1][1]=2,F.c[1][2]=k;
	A.c[1][1]=0,A.c[1][2]=-1,A.c[2][1]=1,A.c[2][2]=k;
	while(n){
		if(n&1) F=F*A;
		A=A*A;
		n>>=1;
	}
}
void solve(){
	int n;cin>>n>>k;
	if(n==1){
        cout<<k;
        cout<<endl;
		return;
	}
	qpow(n-1);
	cout<<(F.c[1][2]+M)%M<<endl;//就因为这里没取模卡了快一小时

}
signed main()
{
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
	int t;cin>>t;while(t--)
	solve();
	return 0;
}