[NOI1999] 生日蛋糕

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21.[NOI1999] 生日蛋糕2023-03-28

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题目描述

7 月 17 日是 Mr.W 的生日，ACM-THU 为此要制作一个体积为 $N\pi$ 的 $M$ 层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。

设从下往上数第 $i$（$1 \leq i \leq M$）层蛋糕是半径为 $R_i$，高度为 $H_i$ 的圆柱。当 $i \lt M$ 时，要求 $R_i \gt R_{i+1}$ 且 $H_i \gt H_{i+1}$。

由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积 $Q$ 最小。

请编程对给出的 $N$ 和 $M$，找出蛋糕的制作方案（适当的 $R_i$ 和 $H_i$ 的值），使 $S=\dfrac{Q}{\pi}$ 最小。

（除 $Q$ 外，以上所有数据皆为正整数）

输入格式

第一行为一个整数 $N$（$N \leq 2 \times 10^4$），表示待制作的蛋糕的体积为 $N\pi$。

第二行为 $M$（$M \leq 15$），表示蛋糕的层数为 $M$。

输出格式

输出一个整数 $S$，若无解，输出 $0$。

样例 #1

样例输入 #1

100
2

样例输出 #1

68

示例图：

样例 #1

样例输入 #1

100
2

样例输出 #1

68

ok,开始愉快的AC之旅

第一步：预处理

定义 a,b数组，存储第i层最多能用的表面积和体积，便于优化

---

第二步：深度优先搜索

定义search函数，负责搜索

递归结束条件是：

1：蛋糕已完成，即层数p==m

2：体积超过了预定的值，或者表面积超过了之前存储的最小值ans

---

第三步：寻找优化方案！

这步尤为重要，没有合适的优化方案会导致超时

1：对于体积
在第一步已经完成了对最大体积的预处理，所以只需要用当前体积加上b[i-1],判断是否大于了规定体积n即可

即： if(v+b[p-1]>n) return ;//体积超出

2：对于表面积
如果 当前的表面积+余下的侧面积>当前最优值ans （这个应该很简单证明）

但是，如何实现呢？？？

于是就有了接下来的公式推理

设已经做了i层蛋糕,则还需做m-i层, 
 
Si’：为第i层蛋糕的侧面积,       
FSi：余下的侧面积
 
根据定义：
     V=π*R*R*H（在这里统一删掉π）
     则有：
      2Vi= 2R[i+1] * R[i+i] * H[i+1] + ...+ 2Rm * Rm * Hm
                      （每一层的体积之和）
         = R[i+1] *  S[i+1]’ + ...+ Rm * Sm’
         ≤ R[i+1] * (S[i+1]’+ ...+ Sm’)    放缩法
         = R[i+1]*FSi (剩余侧面积)
 所以:
               FSi ≥ 2Vi / Ri+1 

因此，剪枝条件变为了

2*(n-v)/r+s>=ans

于是前面预处理的a数组就可以去掉了

第三步完成

综合这三步编写代码，愉快的AC

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[21],b[21],m,n,ans;//a存储表面积,b存储体积 
void search(int v,int s,int p,int r,int h)//v为已用体积，s为已有表面积，p为剩余层数，r为半径，h为高 
{
    int i,j,hh;
    if (p==0)//蛋糕已完成
        {
        if (v==n&&s<ans)//判断是否符合要求并得到更优解
                ans=s;//更新最优解
        return ;
        }
        if(v+b[p-1]>n) return ;//体积超出 
        //if(s+a[p-1]>ans) return ;//表面积超出 
        if(2*(n-v)/r+s>=ans)  return; //重点：当前的表面积+余下的侧面积>当前最优值
        //剩余表面积FS>=2*V剩/r   
        //若FS+s>=ans 则不符合 
         for(i=r-1;i>=p;i--)//枚举上一层的半径
         {
            if(p==m) s=i*i;
            hh=min((n-v-b[p-1])/(i*i),h-1);
            for(j=hh;j>=p;j--)//枚举上一层的高
            search(v+i*i*j,s+2*i*j,p-1,i,j);
         }
}
int main()
{
      cin>>n>>m;
      ans=2147483647;
      a[0]=b[0]=0;
      for(int i=1;i<21;i++)
      {
       //a[i]=a[i-1]+2*i*i;//第i层使用的最大表面积 
        b[i]=b[i-1]+i*i*i;//第i层使用的最大体积 
      }
      search(0,0,m,n+1,n+1);
      if(ans==2147483647) cout<<'0';
      else cout<<ans;
      return 0;
}