银行贷款

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96.银行贷款2023-07-03

银行贷款

题目描述

当一个人从银行贷款后，在一段时间内他（她）将不得不每月偿还固定的分期付款。这个问题要求计算出贷款者向银行支付的利率。假设利率按月累计。

输入格式

三个用空格隔开的正整数。

第一个整数表示贷款的原值 $w_0$ ，第二个整数表示每月支付的分期付款金额 $w$ ，第三个整数表示分期付款还清贷款所需的总月数 $m$ 。

输出格式

一个实数，表示该贷款的月利率（用百分数表示），四舍五入精确到 $0.1\%$ 。

样例 #1

样例输入 #1

 1000 100 12

样例输出 #1

2.9

提示

数据保证， $1 \leq w_0, w\leq 2^{31}-1$ ， $1 \leq m\leq 3000$ 。

解析&代码

题目大意

给出 $n,m,k$ ，求贷款者向银行支付的利率 $p$ ,使得:

\sum_{i = 1}^{k} \frac{m}{(1 + p)^{i}} = n

$\sum_{i=1}^{k}\dfrac{m}{(1+p)^i}=n$

按百分比形输出，精确到小数点后一位。

解析

$\text{orz}$ ，光是理解题意就理解了半天……~~果然语文差学 $\text{OI}$ 也很难受。~~

题目中提到了一句很重要的话：利率按月累计。这是什么意思呢？这是指，假如第一个月的利率为 $(1+p)$ ，那么第二个月就变成了 $(1+p)^2$ 了。那么这两个月，你偿还的金额实际相当于你借得的 $\frac{m}{1+p}+\frac{m}{(1+p)^2}$ 元。我们已知一共借了 $n$ 元，那么就能得到上面提到的公式了。

关于如何计算 $m$ 。首先，根据生活常识利率越大你实际偿还的金额（即你借到的 $n$ 元）越小。我们对上式移项：

\sum_{i = 1}^{k} \frac{1}{(1 + p)^{i}} = \frac{n}{m}

$\sum_{i=1}^{k}\dfrac{1}{(1+p)^i}=\dfrac{n}{m}$

当 $p$ 小于正确答案时，左式就会小于右式。反之左式就会大于右式。因此我们可以根据 $p$ 的单调性倍增。

我们设 $f(p)=\text{左式}=\sum\limits_{i=1}^{k}\frac{1}{(1+p)^i}$ 。设当前答案为 $p$ ,倍增量为 $k$ 。那么如果 $f(p)<\frac{n}{m}$ ，我们就可以让 $p$ 加上 $k$ ,同时将 $\bold k$ 翻倍。否则将 $k$ 减半。当 $k$ 小于某个阈值（即精度）时，此时的 $p$ 就是答案。

倍增算法有一个好处是，你几乎不用考虑上界（即使银行放超高利贷 $\text{orz}$ ）。并且精度非常容易控制：你只需要将 $p$ 和 $k$ 初始为非常小的数(比如 $10^{-6}$ )，然后退出条件为 $k$ 是否大于 $10^{-11}$ 即可。

倍增的复杂度与二分相同，为 $\mathcal O(K \log N)$ 。其中 $N$ 为答案除以精度， $K$ 为分期付款总天数。

代码

 #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
int main()
{
	double a,b,c;
	cin >> a >> b >> c;
	//l和r分别表示利率的最小值和最大值，也就是初始范围。
	double l=0, r=1000,mid=0;
	//double数据类型，相差小于0.0001结束循环，避免多次循环
	while(l<r-0.0001) 
	{
		mid=(l+r)/2;//mid为范围的中间值。
		double w=a;//w为未还的总钱数。
		for(int i=0;i<c;i++)//模拟还钱过程。
		{
			w=w-b+w*(mid/100);
		}
		if(w>0.0001)//检验在这个利率下，是否将钱还完。
		{
			r=mid;//钱未还完，利率偏大，将范围最大值设置为中间值。
		}
			
		else{
			l=mid;//钱还多了，利率偏小，将范围最小值设置为中间值。
		} 
	}
	cout << fixed << setprecision(1) << round(l*10)/10;
	return 0;
}

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posted @ 2023-07-03 15:05 Momo·Trace 阅读(76) 评论(0) 编辑收藏举报

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	#include <bits/stdc++.h>
	using namespace std;

	int main()
	{
	double a,b,c;
	cin >> a >> b >> c;
	//l和r分别表示利率的最小值和最大值，也就是初始范围。
	double l=0, r=1000,mid=0;
	//double数据类型，相差小于0.0001结束循环，避免多次循环
	while(l<r-0.0001)
	{
	mid=(l+r)/2;//mid为范围的中间值。
	double w=a;//w为未还的总钱数。
	for(int i=0;i<c;i++)//模拟还钱过程。
	{
	w=w-b+w*(mid/100);
	}
	if(w>0.0001)//检验在这个利率下，是否将钱还完。
	{
	r=mid;//钱未还完，利率偏大，将范围最大值设置为中间值。
	}

	else{
	l=mid;//钱还多了，利率偏小，将范围最小值设置为中间值。
	}
	}
	cout << fixed << setprecision(1) << round(l*10)/10;
	return 0;
	}