前缀和

1.C++ 地球人口承载力2023-02-11 2.冒泡排序2023-02-11 3.棋盘移动2023-03-04 4.数的计数 c++2023-02-18 5.汉诺塔2023-02-16 6.「CSP-J2020」直播获奖 —— 桶排序例题2023-02-14 7.P1451 求细胞数量2023-03-18 8.迷宫问题2023-03-14 9.披萨大师2023-03-07 10.[NOIP2017 普及组] 棋盘2023-03-07 11.素数环2023-03-07 12.求排列(全排列问题)2023-03-07 13.数的组合2023-03-04 14.如何理解递归2023-03-04 15.关系网络2023-04-25 16.最短路径问题2023-04-23 17.红与黑2023-04-20 18.P1271 【深基9.例1】选举学生会2023-04-18 19.最短时间——BFS2023-04-18 20.逃离迷宫2023-04-11 21.[NOI1999] 生日蛋糕2023-03-28 22.数字三角形2023-03-28 23.Function2023-03-28 24.四色问题2023-03-25 25.P1036 [NOIP2002 普及组] 选数2023-03-25 26.小猫爬山思路2023-03-18 27.马的遍历2023-03-18 28.最少步数2023-04-25 29.[USACO07DEC]Mud Puddles S2023-04-27 30.非常可乐2023-04-27

31.前缀和2023-05-03

32.「USACO2016JAN」Subsequences Summing to Sevens2023-05-09 33.[NOIP2004 提高组] 津津的储蓄计划2023-05-11 34.[NOIP2016 普及组] 买铅笔2023-05-11 35.[NOIP2013 普及组] 计数问题2023-05-11 36.[NOIP2011 普及组] 数字反转2023-05-11 37.[NOIP2015 普及组] 金币2023-05-11 38.[NOIP2008 提高组] 笨小猴2023-05-11 39.[NOIP2007 普及组] 奖学金2023-05-11 40.[NOIP2003 普及组] 乒乓球2023-05-11 41. [NOIP2005 普及组] 陶陶摘苹果2023-05-11 42.[NOIP2009 普及组] 分数线划定2023-05-11 43.[NOIP2005 普及组] 校门外的树2023-05-11 44.[NOIP2018 普及组] 标题统计2023-05-11 45.[NOIP2004 普及组] 不高兴的津津2023-05-11 46.[NOIP2008 提高组] 火柴棒等式2023-05-11 47. [NOIP1998 普及组] 三连击2023-05-11 48. [USACO1.3]Ski Course Design2023-05-11 49.[NOIP2014 普及组] 珠心算测验2023-05-11 50.[NOIP2013 普及组] 表达式求值2023-05-11 51.数字三角形2023-05-13 52.「模板」最长不下降子序列 LIS2023-05-13 53.[NOIP2002 普及组] 过河卒2023-05-13 54. [NOIP1999 普及组] 导弹拦截2023-05-18 55.可回退的数字三角形2023-05-18 56.[NOIP2004 提高组] 合唱队形2023-05-18 57.动态规划部分PPT2023-05-24 58.【模板】01背包问题2023-05-27 59.所有背包问题模板2023-05-27 60.[NOIP2006 普及组] 开心的金明2023-05-27 61.【模板】完全背包问题2023-05-27 62.货币系统2023-05-27 63.小A点菜2023-05-30 64.最大约数和2023-05-30 65.NASA的食物计划2023-05-30 66.[USACO3.1]总分 Score Inflation2023-05-30 67.[NOIP2001 普及组] 装箱问题2023-05-30 68.[HAOI2012] 音量调节2023-06-01 69.[USACO08NOV]Buying Hay S2023-06-02 70.[USACO09MAR]Cow Frisbee Team S2023-06-02 71.编辑距离2023-06-03 72.2023-6-6 DP测试2023-06-06 73.租用游艇2023-06-10 74.石子合并（弱化版）2023-06-10 75.[USACO06FEB]Treats for the Cows G/S2023-06-13 76.排队接水2023-06-15 77.数列分段 Section I2023-06-17 78.[USACO1.3]混合牛奶 Mixing Milk2023-06-17 79.凌乱的yyy / 线段覆盖2023-06-17 80.独木桥2023-06-17 81.[NOIP2002 提高组] 均分纸牌2023-06-17 82.独木舟上的旅行2023-06-20 83.选择不相交区间2023-06-20 84.区间选点问题2023-06-20 85.最大数2023-07-01 86.区间覆盖问题2023-07-01 87.可分割背包问题2023-07-01 88.[COCI2011-2012#5] EKO / 砍树2023-07-01 89.【深基13.例1】查找2023-07-01 90.[NOIP2001 提高组] 一元三次方程求解2023-07-02 91.木材加工2023-07-02 92.[NOIP2015 提高组] 跳石头2023-07-02 93.数列分段 Section II2023-07-02 94.复制书稿2023-07-03 95.烦恼的高考志愿2023-07-03 96.银行贷款2023-07-03

前缀和

一、介绍

~~前缀，顾名思义就是一个东西前面的点缀...~~（bushi

其实打比方来说就是：假如有一字符串ABCD，那么他的前缀就是A、AB、ABC、ABCD这四个从新从第一个字母一次往后开始拼接的字符串。当然这是字符串。但前缀和一般应用于数组，对于给定的数组a=[1,2,3,4]，他的前 i 项和sum[i]就表示数组中a[0]~a[i]的和，具体为：
sum[0]=a[0]
sum[1]=a[0]+a[1]
......
sum[i]=sum[0]+sum[1]+...+sum[i];

二、定义

定义：前缀和是指某一序列的前 n 项和。

基于前缀和的使用，我们一般把前缀和分为一维前缀和和二维前缀和。

三、一维前缀和

定义

基于一维数组的前缀和就是原数组前n个元素的和。

 const int N = 10010;
 
int a[N]; //原数组a[]
int s[N]; //前缀和数组s[]
 
//根据定义 一维前缀和s[i]
s[i] = a[1] + a[2] + a[3] +...+ a[i];
 
//举例 设i=3 根据上式可得
s[3] = a[1] + a[2] + a[3];
 
//根据上面举例，可以再一步写成
s[i] = s[i-1] + a[i];

需要注意的一点是：数组的下标都是从 1 开始的！！！

作用

主要作用是可以在O(1)时间情况下快速的求出任一区间[l,r]内的元素之和。

 //例如求a[3]+...+a[10]之间的和，我们可以利用前缀和迅速求出：
  a[3]+...+a[10]
= (a[1]+a[2]+a[3]...+a[10]) - (a[1]+a[2])
= s[10] - s[2]
 
//根据上面举例,我们可以推导出求某一区间[l,r]内的和的公式
  a[l]+a[l+1]+...+a[r-1]+a[r] 
= s[r] - s[l-1];

方法

一维数组求前缀和方法

 int a[100],s[100];
for(int i = 1; i<= 99; i++)
{
    scanf("%d",&a[i]);
}
for(int i = 1; i<= 99; i++)
{
    s[i] = s[i-1]+a[i];
}

实战演练！！！

「模板」前缀和

输入n个数，给出m个询问，询问区间[x,y]的和。

输入

第一行为n和m，1<=n,m<=100000
接下来一行为n个数，范围在0~100000之间
接下来m行，每行两个数x,y，输出第x个数到第y个数之间所有数的和。保证x<=y

输出

m个输出

样例输入

样例输出

 3
2
13

代码：

 #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
long long a[100010],b[100010];//见注释1
int main()
{
	cin >> n >> m;
	for(int i=1; i<=n;i++)
	{
		cin >> a[i];
	}
	b[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		b[i]=b[i-1]+a[i];
	}
	while(m--)
	{
		int l,r;
		cin >> l >> r;
		cout << b[r] - b[l-1] << "\n";
	}
	return 0;
}

注释①：测试范围大

四、二维前缀和

定义

基于二维数组的前缀和，它是指一个前 i 行和前 j 列的子矩阵的和

 const int N =100010;
int a[N][N] //原二维数组
int s[N][N] //二维前缀和数组
 
//根据定义可得
s[i][j] = a[1][1] + a[1][2] + ... + a[1][j]+
          a[2][1] + 1[2][2] + ... + 1[2][j]+
          a[3][1] +   ...   + ... + a[3][j]+
             +                         +
            ....                      ....
             +                         + 
          a[i][1] +   ...   + ... + a[i][j]

作用

主要作用是可以在是可以在O(1)情况下求出任何子矩阵的和

图解：

在这个矩阵（二维数组）中，我们要求上图中紫色区域的和，现在我们已经预处理出了所有点的前缀和，现在给定两个点 $（x1,y1）$ ， $（x2,y2）$ ，我们需要求的是以这两个点连线为对角线的一个子矩阵的数值之和。首先我们可以把 $s[x2][y2]$ 求出来，它代表整个大矩形的前缀和，然后我们分别减去它右边多出来的一块的前缀和和上边多出来一块的前缀和，但是需要注意下边的左上角被减了两次，所以我们需要加回来一次。故对于一次的查询是 $s[i][j]$ 应该等于 $s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1]$ 。

所求子矩阵和= $s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1]$ ;

方法

二维数组求前缀和方法

 const int N = 10010;
int a[N][N],s[N][N]
//n,m为键盘输入
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
    for(int j = 1;j <= m; j++)
    {
       scanf("%d",&a[i][j]);
    }
}
for(int i = 1; i<= n; i++)
{
    for(int j = 1; j <= m; j++)
    {
       s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + a[i][j];
    }
}

具体代码！！！

 #include <iostream>
 
const int N = 1010;
int n,m,q;
int a[N][N],s[N][N];
 
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1;j <= m; j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }
    for(int i = 1; i<= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + a[i][j];
        }
    }
    while(q--)
    {
        int x1,y1,x2,y2,re;
        scanf("%d%d%d%d",&x1,&y2,&x2,&y2);
        re = s[x2][y2] - s[x1-1][y2] - s[x2][y1-1] + s[x1-1][y1-1];
        printf("%d\n",re);
    }
}

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posted @ 2023-05-03 09:06 Momo·Trace 阅读(238) 评论(1) 编辑收藏举报

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前缀和

前缀和

一、介绍

二、定义

三、一维前缀和

定义

作用

方法

实战演练！！！

「模板」前缀和

输入

输出

样例输入

样例输出

代码：

四、二维前缀和

定义

作用

方法

具体代码！！！

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	const int N = 10010;

	int a[N]; //原数组a[]
	int s[N]; //前缀和数组s[]

	//根据定义一维前缀和s[i]
	s[i] = a[1] + a[2] + a[3] +...+ a[i];

	//举例设i=3 根据上式可得
	s[3] = a[1] + a[2] + a[3];

	//根据上面举例，可以再一步写成
	s[i] = s[i-1] + a[i];

	//例如求a[3]+...+a[10]之间的和，我们可以利用前缀和迅速求出：
	a[3]+...+a[10]
	= (a[1]+a[2]+a[3]...+a[10]) - (a[1]+a[2])
	= s[10] - s[2]

	//根据上面举例,我们可以推导出求某一区间[l,r]内的和的公式
	a[l]+a[l+1]+...+a[r-1]+a[r]
	= s[r] - s[l-1];

	int a[100],s[100];
	for(int i = 1; i<= 99; i++)
	{
	scanf("%d",&a[i]);
	}
	for(int i = 1; i<= 99; i++)
	{
	s[i] = s[i-1]+a[i];
	}

	#include <bits/stdc++.h>
	using namespace std;
	int n,m;
	long long a[100010],b[100010];//见注释1
	int main()
	{
	cin >> n >> m;
	for(int i=1; i<=n;i++)
	{
	cin >> a[i];
	}
	b[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
	b[i]=b[i-1]+a[i];
	}
	while(m--)
	{
	int l,r;
	cin >> l >> r;
	cout << b[r] - b[l-1] << "\n";
	}
	return 0;
	}

	const int N =100010;
	int a[N][N] //原二维数组
	int s[N][N] //二维前缀和数组

	//根据定义可得
	s[i][j] = a[1][1] + a[1][2] + ... + a[1][j]+
	a[2][1] + 1[2][2] + ... + 1[2][j]+
	a[3][1] + ... + ... + a[3][j]+
	+ +
	.... ....
	+ +
	a[i][1] + ... + ... + a[i][j]

	const int N = 10010;
	int a[N][N],s[N][N]
	//n,m为键盘输入
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
	for(int j = 1;j <= m; j++)
	{
	scanf("%d",&a[i][j]);
	}
	}
	for(int i = 1; i<= n; i++)
	{
	for(int j = 1; j <= m; j++)
	{
	s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + a[i][j];
	}
	}

	#include <iostream>

	const int N = 1010;
	int n,m,q;
	int a[N][N],s[N][N];

	int main()
	{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
	for(int j = 1;j <= m; j++)
	{
	scanf("%d",&a[i][j]);
	}
	}
	for(int i = 1; i<= n; i++)
	{
	for(int j = 1; j <= m; j++)
	{
	s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + a[i][j];
	}
	}
	while(q--)
	{
	int x1,y1,x2,y2,re;
	scanf("%d%d%d%d",&x1,&y2,&x2,&y2);
	re = s[x2][y2] - s[x1-1][y2] - s[x2][y1-1] + s[x1-1][y1-1];
	printf("%d\n",re);
	}
	}