决策树
在现实生活中，我们会遇到各种选择，不论是选择男女朋友，还是挑选水果，都是基于以往的经验来做判断。如果把判断背后的逻辑整理成一个结构图，你会发现它实际上是一个树状图，这就是我们今天要讲的决策树。
决策树的工作原理
决策树基本上就是把我们以前的经验总结出来。如果我们要出门打篮球，一般会根据“天气”、“温度”、“湿度”、“刮风”这几个条件来判断，最后得到结果：去打篮球？还是不去？
上面这个图就是一棵典型的决策树。我们在做决策树的时候，会经历两个阶段：构造和剪枝。
构造
构造就是生成一棵完整的决策树。简单来说，构造的过程就是选择什么属性作为节点的过程，那么在构造过程中，会存在三种节点：
-
根节点：就是树的最顶端，最开始的那个节点。在上图中，“天气”就是一个根节点；
-
内部节点：就是树中间的那些节点，比如说“温度”、“湿度”、“刮风”；
-
叶节点：就是树最底部的节点，也就是决策结果。
节点之间存在父子关系。比如根节点会有子节点，子节点会有子子节点，但是到了叶节点就停止了，叶节点不存在子节点。那么在构造过程中，你要解决三个重要的问题：
-
选择哪个属性作为根节点；
-
选择哪些属性作为子节点；
-
什么时候停止并得到目标状态，即叶节点。
剪枝
剪枝就是给决策树瘦身，这一步想实现的目标就是，不需要太多的判断，同样可以得到不错的结果。之所以这么做，是为了防止“过拟合”（Overfitting）现象的发生。
过拟合：指的是模型的训练结果“太好了”，以至于在实际应用的过程中，会存在“死板”的情况，导致分类错误。
欠拟合：指的是模型的训练结果不理想。
造成过拟合的原因：
一是因为训练集中样本量较小。如果决策树选择的属性过多，构造出来的决策树一定能够“完美”地把训练集中的样本分类，但是这样就会把训练集中一些数据的特点当成所有数据的特点，但这个特点不一定是全部数据的特点，这就使得这个决策树在真实的数据分类中出现错误，也就是模型的“泛化能力”差。
泛化能力：指的分类器是通过训练集抽象出来的分类能力，你也可以理解是举一反三的能力。如果我们太依赖于训练集的数据，那么得到的决策树容错率就会比较低，泛化能力差。因为训练集只是全部数据的抽样，并不能体现全部数据的特点。
剪枝的方法：
- 预剪枝：在决策树构造时就进行剪枝。方法是，在构造的过程中对节点进行评估，如果对某个节点进行划分，在验证集中不能带来准确性的提升，那么对这个节点进行划分就没有意义，这时就会把当前节点作为叶节点，不对其进行划分。
- 后剪枝：在生成决策树之后再进行剪枝。通常会从决策树的叶节点开始，逐层向上对每个节点进行评估。如果剪掉这个节点子树，与保留该节点子树在分类准确性上差别不大，或者剪掉该节点子树，能在验证集中带来准确性的提升，那么就可以把该节点子树进行剪枝。方法是：用这个节点子树的叶子节点来替代该节点，类标记为这个节点子树中最频繁的那个类。
如何判断要不要去打篮球？
我们该如何构造一个判断是否去打篮球的决策树呢？再回顾一下决策树的构造原理，在决策过程中有三个重要的问题：将哪个属性作为根节点？选择哪些属性作为后继节点？什么时候停止并得到目标值？
显然将哪个属性（天气、温度、湿度、刮风）作为根节点是个关键问题，在这里我们先介绍两个指标：纯度和信息熵。
纯度：
你可以把决策树的构造过程理解成为寻找纯净划分的过程。数学上，我们可以用纯度来表示，纯度换一种方式来解释就是让目标变量的分歧最小。
举个例子，假设有 3 个集合：
- 集合 1：6 次都去打篮球；
- 集合 2：4 次去打篮球，2 次不去打篮球；
- 集合 3：3 次去打篮球，3 次不去打篮球。
按照纯度指标来说，集合 1> 集合 2> 集合 3。因为集合1 的分歧最小，集合 3 的分歧最大。
信息熵：表示信息的不确定度
在信息论中，随机离散事件出现的概率存在着不确定性。为了衡量这种信息的不确定性，信息学之父香农引入了信息熵的概念，并给出了计算信息熵的数学公式：
p(i|t) 代表了节点 t 为分类 i 的概率，其中 log2 为取以 2 为底的对数。这里我们不是来介绍公式的，而是说存在一种度量，它能帮我们反映出来这个信息的不确定度。当不确定性越大时，它所包含的信息量也就越大，信息熵也就越高。
举个例子，假设有 2 个集合：
- 集合 1：5 次去打篮球，1 次不去打篮球；
- 集合 2：3 次去打篮球，3 次不去打篮球。
在集合 1 中，有 6 次决策，其中打篮球是 5 次，不打篮球是 1 次。那么假设：类别 1 为“打篮球”，即次数为 5；类别 2 为“不打篮球”，即次数为 1。那么节点划分为类别1的概率是 5/6，为类别2的概率是1/6，带入上述信息熵公式可以计算得出：
同样，集合 2 中，也是一共 6 次决策，其中类别 1 中“打篮球”的次数是 3，类别 2“不打篮球”的次数也是 3，那么信息熵为多少呢？我们可以计算得出：
从上面的计算结果中可以看出，信息熵越大，纯度越低。当集合中的所有样本均匀混合时，信息熵最大，纯度最低。
我们在构造决策树的时候，会基于纯度来构建。而经典的 “不纯度”的指标有三种，分别是信息增益（ID3 算法）、信息增益率（C4.5 算法）以及基尼指数（Cart 算法）。
信息增益：
信息增益指的就是划分可以带来纯度的提高，信息熵的下降。它的计算公式，是父亲节点的信息熵减去所有子节点的信息熵。在计算的过程中，我们会计算每个子节点的归一化信息熵，即按照每个子节点在父节点中出现的概率，来计算这些子节点的信息熵。所以信息增益的公式可以表示为：
公式中 D 是父亲节点，Di 是子节点，Gain(D,a)中的 a 作为 D 节点的属性选择。
假设D 天气 = 晴的时候，会有 5 次去打篮球，5 次不打篮球。其中 D1 刮风 = 是，有 2 次打篮球，1 次不打篮球。D2 刮风 = 否，有 3 次打篮球，4 次不打篮球。那么a 代表节点的属性，即天气 = 晴。
针对图上这个例子，D 作为节点的信息增益为：
也就是 D 节点的信息熵 -2 个子节点的归一化信息熵。2个子节点归一化信息熵 =3/10 的 D1 信息熵 +7/10 的 D2 信息熵。
我们基于 ID3 的算法规则，完整地计算下我们的训练集，训练集中一共有 7 条数据，3 个打篮球，4 个不打篮球，所以根节点的信息熵是：
如果你将天气作为属性的划分，会有三个叶子节点 D1、D2 和D3，分别对应的是晴天、阴天和小雨。我们用 + 代表去打篮球，- 代表不去打篮球。那么第一条记录，晴天不去打篮球，可以记为 1-，于是我们可以用下面的方式来记录 D1，D2，D3：
D1(天气 = 晴天)={1-,2-,6+}
D2(天气 = 阴天)={3+,7-}
D3(天气 = 小雨)={4+,5-}
我们先分别计算三个叶子节点的信息熵：
因为 D1 有 3 个记录，D2 有 2 个记录，D3 有2 个记录，所以 D 中的记录一共是 3+2+2=7，即总数为 7。所以 D1 在 D（父节点）中的概率是 3/7，D2在父节点的概率是 2/7，D3 在父节点的概率是 2/7。那么作为子节点的归一化信息熵 = 3/7*0.918+2/7*1.0=0.965。
因为我们用 ID3 中的信息增益来构造决策树，所以要计算每个节点的信息增益。
天气作为属性节点的信息增益为，Gain(D , 天气)=0.985-0.965=0.020。
同理我们可以计算出其他属性作为根节点的信息增益，它们分别为：
Gain(D , 温度)=0.128
Gain(D , 湿度)=0.020
Gain(D , 刮风)=0.020
我们能看出来温度作为属性的信息增益最大。因为 ID3 就是要将信息增益最大的节点作为父节点，这样可以得到纯度高的决策树，所以我们将温度作为根节点。其决策树状图分裂为下图所示：
然后我们要将上图中第一个叶节点，也就是 D1={1-,2-,3+,4+}进一步进行分裂，往下划分，计算其不同属性（天气、湿度、刮风）作为节点的信息增益，可以得到：
Gain(D , 天气)=0
Gain(D , 湿度)=0
Gain(D , 刮风)=0.0615
我们能看到刮风为 D1 的节点都可以得到最大的信息增益，这里我们选取刮风作为节点。同理，我们可以按照上面的计算步骤得到完整的决策树，结果如下：
于是我们通过 ID3 算法得到了一棵决策树。ID3 的算法规则相对简单，可解释性强。同样也存在缺陷，比如我们会发现 ID3 算法倾向于选择取值比较多的属性。这样，如果我们把“编号”作为一个属性（一般情况下不会这么做，这里只是举个例子），那么“编号”将会被选为最优属性 。但实际上“编号”是无关属性的，它对“打篮球”的分类并没有太大作用。
所以 ID3 有一个缺陷就是，有些属性可能对分类任务没有太大作用，但是他们仍然可能会被选为最优属性。这种缺陷不是每次都会发生，只是存在一定的概率。在大部分情况下，ID3 都能生成不错的决策树分类。针对可能发生的缺陷，后人提出了新的算法进行改进。
在 ID3 算法上进行改进的 C4.5 算法
1. 采用信息增益率
因为 ID3 在计算的时候，倾向于选择取值多的属性。为了避免这个问题，C4.5 采用信息增益率的方式来选择属性。信息增益率 = 信息增益 / 属性熵
当属性有很多值的时候，相当于被划分成了许多份，虽然信息增益变大了，但是对于 C4.5 来说，属性熵也会变大，所以整体的信息增益率并不大。
2. 采用悲观剪枝
ID3 构造决策树的时候，容易产生过拟合的情况。在 C4.5中，会在决策树构造之后采用悲观剪枝（PEP），这样可以提升决策树的泛化能力。
悲观剪枝是后剪枝技术中的一种，通过递归估算每个内部节点的分类错误率，比较剪枝前后这个节点的分类错误率来决定是否对其进行剪枝。这种剪枝方法不再需要一个单独的测试数据集。
3. 离散化处理连续属性
C4.5 可以处理连续属性的情况，对连续的属性进行离散化的处理。比如打篮球存在的“湿度”属性，不按照“高、中”划分，而是按照湿度值进行计算，那么湿度取什么值都有可能。该怎么选择这个阈值呢，C4.5 选择具有最高信息增益的划分所对应的阈值。
4. 处理缺失值
针对数据集不完整的情况，C4.5 也可以进行处理。
假如我们得到的是如下的数据，你会发现这个数据中存在两点问题。第一个问题是，数据集中存在数值缺失的情况，如何进行属性选择？第二个问题是，假设已经做了属性划分，但是样本在这个属性上有缺失值，该如何对样本进行划分？
我们不考虑缺失的数值，可以得到温度 D={2-,3+,4+,5-,6+,7-}。温度 = 高：D1={2-,3+,4+}；温度 = 中：D2={6+,7-}；温度 = 低：D3={5-} 。这里 + 号代表打篮球，- 号代表不打篮球。比如ID=2 时，决策是不打篮球，我们可以记录为 2-。
所以三个叶节点的信息熵可以结算为：
这三个节点的归一化信息熵为 3/6*0.918+2/6*1.0+1/6*0=0.792。
针对将属性选择为温度的信息增益率为：
Gain(D′, 温度)=Ent(D′)-0.792=1.0-0.792=0.208
D′的样本个数为 6，而 D 的样本个数为 7，所以所占权重比例为 6/7，所以 Gain(D′，温度) 所占权重比例为6/7，所以：
Gain(D, 温度)=6/7*0.208=0.178
这样即使在温度属性的数值有缺失的情况下，我们依然可以计算信息增益，并对属性进行选择。
小结：
首先 ID3 算法的优点是方法简单，缺点是对噪声敏感。训练数据如果有少量错误，可能会产生决策树分类错误。C4.5 在 IID3 的基础上，用信息增益率代替了信息增益，解决了噪声敏感的问题，并且可以对构造树进行剪枝、处理连续数值以及数值缺失等情况，但是由于 C4.5 需要对数据集进行多次扫描，算法效率相对较低。
