[动态规划第一节]背包问题汇总

• 背包问题

  • 动态规划思路：

    • 状态表示 f(i, j)

      • 状态由几维表示
        • 表示的集合是什么
          • 所有选法
          • 选法条件
            • 只考虑前i个物品
            • 总体积 <= j
        • 集合的属性是什么
          • 最大值
          • 最小值
          • 元素的数量

    • 状态计算

      • 集合的划分 f(i, j)
        • 不含第i个物品
          • f(i - 1, j)
        • 包含第i个物品
          • f(i - 1, j - vi) 已知第i个物品必选，那么只要保证前i-1个物品为最大值

  • 01背包

    • 每件物品最多取一次
    • 朴素代码：

      const int N = 1e3 + 10;
      int f[N][N], v[N], w[N];
      int n, m;
      
      int main(){
          cin >> n >> m;
          for(int i = 1; i <= n; ++ i) cin >> v[i] >> w[i];
          
          //f[1~n][0] = f[0][1~m] = 0;
          for(int i = 1; i <= n; ++ i) //遍历物品
              for(int j = 1; j <= m; ++ j){ //遍历容量
                  f[i][j] = f[i - 1][j]; //不选第i个物品
                  if(j >= v[i])
                      f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]); //选第i个物品
              }
              
          cout << f[n][m];
          return 0;
      }
      

    • 优化：
      • 用滚动数组优化
      • 因为第i层总是由第i-1层来更新，不会用到1~i-2层，因此只用一维数组f[N]即可自我更新,f[j]表示不超过容量j的最大价值
      • 第i个物品不取，第i层与第i-1层的总价值不变，因此可以不用更新，\(f[i][j] = f[i - 1][j]\) 这句话可删去
      • 第i个物品取，因此要用i-1层更新第i层，\(f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i])\) 并且总是用小容量的价值更新大容量的价值，若从小往大更新，那么小容量的价值优先被更新到第i层，大容量的价值依据小容量的价值更新时，使用的价值不再是第i-1层，所以容量要从大往小更新
      • 代码：

        const int N = 1e3 + 10;
        int f[N], v[N], w[N];
        int n, m;
        
        int main(){
            cin >> n >> m;
            for(int i = 1; i <= n; ++ i) cin >> v[i] >> w[i];
            
            //f[0] = 0;
            for(int i = 1; i <= n; ++ i) //遍历物品
                for(int j = m; j >= v[i]; -- j) //从小往大遍历容量
                        f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]); //选第i个物品
                
            cout << f[m];
            return 0;
        }
        

  • 完全背包

    • 每件物品可取无限次
    • 朴素代码：

      const int N = 1e3 + 10;
      int f[N][N], w[N], v[N];
      int n, m;
      
      int main(){
          cin >> n >> m;
          
          for(int i = 1; i <= n; ++ i) cin >> v[i] >> w[i];
          
          for(int i = 1; i <= n; ++ i) //遍历物品
              for(int j = 1; j <= m; ++ j) //遍历容量
                  for(int k = 0; k * v[i] <= j; ++ k) //遍历个数 
                      f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
                      
          cout << f[n][m];
          return 0;
      }
      

    • 时间优化：
      • \(f[i][j] = max(f[i - 1][j],f[i - 1][j - v] + w,f[i-1][j-2v]+2w,f[i-1][j-3v]+3w,...,f[i-1][j-kv]+kw)\)
      • \(f[i][j-v]=max(f[i-1][j-v],f[i-1][j-2v]+w,f[i-1][j-3v]+w,...,f[i-1][j-kv]+(k-1)w,f[i-1][j-(k+1)v]+kw)\)
      • 发现: \(f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v]+w)\)
      • 代码：

        const int N = 1e3 + 10;
        int f[N][N], w[N], v[N];
        int n, m;
        
        int main(){
            cin >> n >> m;
            
            for(int i = 1; i <= n; ++ i) cin >> v[i] >> w[i];
            
            for(int i = 1; i <= n; ++ i) //遍历物品
                for(int j = 1; j <= m; ++ j){ //遍历容量
                    f[i][j] = f[i - 1][j]; //第i个物品不选
                    if(j >= v[i])
                        f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);//第i个物品选
                }
                        
            cout << f[n][m];
            return 0;
        }
        

    • 时空优化：
      • 滚动数组优化
      • 代码：

        const int N = 1e3 + 10;
        int f[N], w[N], v[N];
        int n, m;
        
        int main(){
            cin >> n >> m;
            
            for(int i = 1; i <= n; ++ i) cin >> v[i] >> w[i];
            
            for(int i = 1; i <= n; ++ i) //遍历物品
                for(int j = v[i]; j <= m; ++ j) //遍历容量
                    f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
                        
            cout << f[m];
            return 0;
        }
        

  • 多重背包

    • 每件物品可取有限次
    • 朴素代码：

      const int N = 110;
      int f[N][N], v[N], w[N], s[N];
      int n, m;
      
      int main(){
          cin >> n >> m;
          for(int i = 1; i <= n; ++ i) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
          
          for(int i = 1; i <= n; ++ i)
              for(int j = 1; j <= m; ++ j)
                  for(int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; ++ k)
                      f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
                      
          cout << f[n][m];
          return 0;
      }
      

    • 空间优化：
      • 滚动数组优化
      • 代码：

        const int N = 110;
        int f[N], v[N], w[N], s[N];
        int n, m;
        
        int main(){
            cin >> n >> m;
            for(int i = 1; i <= n; ++ i) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
            
            for(int i = 1; i <= n; ++ i)
                for(int j = m; j >= v[i]; -- j)
                    for(int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; ++ k)
                        f[j] = max(f[j], f[j - k * v[i]] + k * w[i]);
                        
            cout << f[m];
            return 0;
        }
        

    • 二进制优化：
      • 将每个物品取的次数分为若干组，各组为1，2，4，8....2^k，c 的二进制数，在组中任意选取若干组，每组看作新的物品只能选一次，所有的次数都能由这几组二进制数表示，由于每组只能选一次，故化为01背包问题
      • 代码：

        const int N = 2e4 + 500;
        int v[N], w[N], s[N];
        int f[N];
        int n, m;
        
        int main(){
            cin >> n >> m;
            
            int cnt = 0; //记录物品个数
            while(n -- ){
                int V, W, S;
                cin >> V >> W >> S;
                int k = 1; //记录分解后每个物品的次数
                while(k <= S){ //将数量S分解
                    cnt ++ ; //每次分解个数加一
                    w[cnt] = W * k;
                    v[cnt] = V * k;
                    S -= k;
                    k *= 2;
                }
                if(S > 0){ //剩余次数
                    cnt ++ ;
                    w[cnt] = W * S;
                    v[cnt] = V * S;
                }
            }
            
            n = cnt; //01背包问题
            for(int i = 1; i <= n; ++ i)
                for(int j = m; j >= v[i]; -- j)
                    f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
                    
            cout << f[m];
            return 0;
        }
        

  • 分组背包

    • 每个组里面最多选一件物品
    • 朴素代码：

      const int N = 110;
      int v[N][N], w[N][N];
      int f[N][N];
      int s[N];
      int n, m;
      
      int main(){
          cin >> n >> m;
          
          for(int i = 1; i <= n; ++ i){
              cin >> s[i];
              for(int j = 1; j <= s[i]; ++ j)
                  cin >> v[i][j] >> w[i][j];
          }
          
          for(int i = 1; i <= n; ++ i)
              for(int j = 1; j <= m; ++ j){
                  f[i][j] = f[i - 1][j]; //该组不选物品
                  for(int k = 1; k <= s[i]; ++ k){ //该组选物品
                      if(j >= v[i][k])
                          f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]);
                  }
              }
              
                      
          cout << f[n][m];
          return 0;
      }
      
      //或者
      for(int i = 1; i <= n; ++ i)
      	for(int k = 1; k <= s[i]; ++ k)
      		for(int j = 1; j <= m; ++ j){
      			f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j]);
      			if(j >= v[i][k])
      				f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]);
      		}
      
      

    • 空间优化：

      const int N = 110;
      int v[N][N], w[N][N];
      int f[N];
      int s[N];
      int n, m;
      
      int main(){
          cin >> n >> m;
          
          for(int i = 1; i <= n; ++ i){
              cin >> s[i];
              for(int j = 1; j <= s[i]; ++ j)
                  cin >> v[i][j] >> w[i][j];
          }
          
          for(int i = 1; i <= n; ++ i)
              for(int j = m; j >= 1; -- j)
                  for(int k = 1; k <= s[i]; ++ k)
                      if(j >= v[i][k])
                          f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
                  
                      
          cout << f[m];
          return 0;
      }