[图论第一节]图/树的搜索/存储/拓扑排序

• 深度优先搜索

  • 一条路走到黑
  • 回溯/剪枝
  • 每一个dfs都对应一个搜索树
  • 解决全排列，搜索所有可能解
• 宽度优先搜索
  • 一层一层搜索
  • 解决最短路问题

搜索方式	数据结构	空间	特点
DFS	stack	O(h)	不具有最短性
BFS	queue	O(2^h)	最短路

• 树与图的存储

  • 有向图/树

    • 每条边建一次

      add(a, b);
      

    • 存储：

      • 邻接矩阵：

        • 存稠密图，无法存重边，浪费空间

      • 邻接表：

        • 单链表数组，有几个点就开几个单链表，每个单链表存储该点可以到的点

        • 代码：

          //h[i]存储以节点i为起点的单链表，单链表中的节点存的是节点i能够到达的所有节点
          //以节点的编号代指结点，但是节点有两类，一类是图中的节点，一类是链表中的节点
          //idx分配单链表中的节点的编号，而不是图中节点的编号，注意区分
          //h[i]中的i是图中节点的编号，存的是单链表节点编号
          //e[i]中的i是单链表中节点的编号，存的是图中节点的编号，e[i]表示i节点存储的图中的节点
          //ne[i]中的i是单链表中节点的编号，存的是单链表点的编号，ne[i]表示i节点的下一个链表节点
          //链表节点下标以1开始，0表示空节点
          int h[N], e[N], ne[N], idx = 1;
          
          void add(int a, int b){//插入节点a指向b的一条边
          	e[idx] = b;//单链表节点的值就是图中节点
          	ne[idx] = h[a];
          	h[a] = idx;
          	idx ++ ;
          }
          

  • 无向图/树

    • 每条边建两次

      add(a, b);
      add(b, a);
      

• 树与图的深度优先遍历

  • 有向图/树的深度优先遍历

  • 树的优先遍历可以求出子树的节点数
  • 代码：

    bool st[N];//标记是否被访问过
    void dfs(int u){
    	st[u] = true; //设置为已标记
    	for(int i = h[u]; i; i = ne[i]){ //遍历节点u的单链表
    		int j = e[i]; //取链表节点的值(图中节点的编号)
    		if(!st[j]) dfs(j); //没有被访问过就访问
    	}
    }
    

• 树与图的宽度优先遍历

  • 有向图/树的宽度优先遍历

• 拓扑排序

  • 拓扑排序是一个有向无环图的所有顶点的线性序列。且该序列必须满足下面两个条件：
  • 每个顶点出现且只出现一次。
  • 若存在一条从顶点 A 到顶点 B 的路径，那么在序列中顶点 A 出现在顶点 B 的前面。
  • 只要图中有环，那么该图不存在拓扑序列
  • 拓扑序不唯一
  • 代码：

    //将所有入度为0的节点i优先入队
    //删除以节点i为起点j为终点的所有边，同时更新j的入度
    //再次将所有入度为0的节点j入队
    //建图步骤省略
    int q[N], hh, tt = -1;//队列
    int d[N];//存储每个节点的入度
    //初始化入度与图
    cin >> a >> b;
    add(a, b);
    d[b] ++ ;
    
    void topsort(){
    	for(int i = 1; i <= n; ++ i)//遍历所有节点
    		if(!d[i]) q[ ++ tt] = i;//将入度为0的节点优先入队
    	//BFS
    	while(hh <= tt){ //队列非空
    		int x = q[hh ++ ]; //队首出队
    		for(int i = h[x]; i; i = ne[i]){
    			int j = e[i];//遍历以x为起点的所有边的终点
    			d[j] -- ; //删边，更新入度
    			if(!d[j]) q[ ++ tt] = j; //将所有入度为0的点入队
    		}
    	}
    	if(tt == n - 1) //所有点都在q数组时，存在拓扑序
    		for(int i = 0; i < n; ++ i) cout << q[i];
    	else cout << -1;//不存在拓扑序
    }