双指针/位运算/离散化/区间和并

• 双指针

  • 两个指针指向两个不同的序列
  • 两个指针指向同一个序列（归并排序，快速排序）
  • 主要作用：将暴力O(n^2)遍历通过两个指针的某种单调性质优化到O(n)，也就是说将内层循环变量j通过与外层循环变量i的关系，将内层循环次数降低不定次

  • 模板：

    for(int i = 1; i < n; ++ i){
    	while(j < i && check(i, j)) j ++ ;
    	//内部逻辑具体分析
    }
    
    //例如将一个字符串中的单词按行输出
    str = "acv adf wers";
    int len = strlen(str);
    //双指针算法
    for(int i = 0; i < len; ++ i){
    	int j = i;
    	while(j < len && str[j] != ' ') j ++ ;
    	
    	//内部逻辑具体分析
    	//输出单词
    	for(int k = i; k < j; ++ k) cout << str[k];
    	cout << endl;
    	int i = j;
    }
    

• 位运算

  • 常用操作：

    • 求n的二进制的第k位：

      • 将n右移k位 (n >> k)
      • 再取右移k位后的个位 (n >> k) & 1

    • 返回x的二进制中最后一位1的位置：

      • lowbit(x) = x & -x lowbit(x)的二进制中只有一个1，该1就是x的二进制中的最后一位1
      • -x = ~x + 1 补码为反码加一

    • 求n的二进制中1的个数：

      • while(n) n -= lowbit(n), ans++;
      • 当n不为0时，n每次去掉最后一位1，ans即为n的二进制中1的数量

• 离散化

  • 将无限区间中的有限元素映射到有限的区间中，将稀疏空间变得稠密
  • 不改变元素间的相对位置

  • 模板：

    vector<int> alls;//离散化数组
    sort(alls.begin(), alls.end()); //排序
    alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end()); //去重
    //根据原值查找离散化后的下标
    int find(int x){
    	int l = -1, r = alls.size();
    	while(l + 1 < r){
    		int mid = l + r >> 1;
    		if(alls[mid] >= x) r = mid;
    		else l = mid;
    	}
    	return r + 1; //以1作为起点下标
    }
    //unique函数双指针实现
    //在不递减的数列中快速提取出不重复的数
    vector<int>::iterator unique(vector<int> &a){
    	for(int i = 0, j = 0; i < a.size(); ++ i){
    		if(!i || a[i] != a[i - 1]) //要么是第一个数，要么前一个数不同于后一个数
    			a[j ++ ] = a[i]; //a[0] ~ a[j - 1] 是所有不同的数
    	}
    	return a.begin() + j;
    }
    
    

• 区间和并

  • 把有有交集的区间合并
  • 将所有区间按左端点从升序排列
  • 遍历所有区间，每次比较相邻两区间是否相交，若前面区间的右端点严格小与后面区间的左端点即为不相交，否则相交
  • 若两区间相交就取并集，否则得到一个合并完成的区间，更新维护的区间，进行下一次合并

  • 模板：

    typedef pair<int, int> PII; 
    vector<PII> segs; //存储不同区间
    //合并区间的函数
    void merge(vector<PII> &segs){
    	vector<PII> res; //存储答案区间
    	sort(segs.begin(), segs.end()); //默认按first升序排序
    	int st = -inf, ed = -inf; //维护的区间初始化
    	for(auto seg : segs){ //遍历所有区间
    		if(ed < seg.first){ //如果维护的区间与新区间不相交说明维护的区间已经合并完成
    			if(st != -inf) res.push_back({st, ed}); //将合并完成的区间存储
    			st = seg.first, ed = seg.second; //更新维护的区间
    		}else ed = max(ed, seg.second); //否则取交集
    		if(st != -inf) res.push_back({st, ed}); //所有区间合并成为一整个区间的情况
    		swap(res, segs); //返回答案到原数组
    	}
    }