算法：最短路径之弗洛伊德（Floyd）算法
https://cloud.tencent.com/developer/article/1012420
为了能讲明白弗洛伊德(Floyd)算法的主要思想，我们先来看最简单的案例。图7-7-12的左图是一个简单的3个顶点的连通网图。
我们先定义两个二维数组D[3][3]和P[3][3]， D代表顶点与顶点的最短路径权值和的矩阵。P代表对应顶点的最短路径的前驱矩阵。在未分析任何顶点之前，我们将D命名为D(-1)，其实它就是初始图的邻接矩阵。将P命名为P(-1), 初始化为图中的矩阵。
首先我们来分析，所有的顶点经过v0后到达另一顶点的最短路径。因为只有3个顶点，因此需要查看v1->v0->v2，得到
D(-1)[1][0] + D(-1)[0][2] = 3。D(-1)[1][2]表示的是v1->v2的权值为5，我们发现D(-1)[1][2] > D(-1)[1][0] + D(-1)[0][2] ,通俗话来说就是
v1->v0->v2 比v1->v2距离还要近。所以我们就让 D(-1)[1][2] = D(-1)[1][0] + D(-1)[0][2] = 3, 同样地D(-1)[2][1] = 3, 于是就有了D(0)矩阵。因为有变化，所以P矩阵对应的P(-1)[1][2]和P(-1)[2][1]也修改为当前中转的顶点v0的下标0, 于是就有了P(0)。也就是说
接下来，也就是在D(0)和P(0)的基础上继续处理所有顶点经过v1和v2后到达另一顶点的最短路径，得到D(1)和P(1)、D(2)和P(2)完成所有顶点到所有顶点的最短路径计算工作。
首先我们针对图7-7-13的左网图准备两个矩阵D(-1)和P(-1)，D(-1)就是网图的邻接矩阵，P(-1)初设为P[i][j]=j 这样的矩阵。主要用来存储路径。
代码如下（改编自《大话数据结构》）：注意因为是要求所有顶点到所有顶点的最短路径，因为使用二维数组。
#include<iostream> using namespace std; #define MAXEDGE 20 #define MAXVEX 20 #define INFINITY 65535 typedef struct { int vexs[MAXVEX]; int arc[MAXVEX][MAXVEX]; int numVertexes, numEdges; } MGraph; typedef int Patharc[MAXVEX][MAXVEX]; typedef int ShortPathTable[MAXVEX][MAXVEX]; /* 构建图 */ void CreateMGraph(MGraph *G) { int i, j; /* printf("请输入边数和顶点数:"); */ G->numEdges = 16; G->numVertexes = 9; for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */ { G->vexs[i] = i; } for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */ { for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++) { if (i == j) G->arc[i][j] = 0; else G->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITY; } } G->arc[0][1] = 1; G->arc[0][2] = 5; G->arc[1][2] = 3; G->arc[1][3] = 7; G->arc[1][4] = 5; G->arc[2][4] = 1; G->arc[2][5] = 7; G->arc[3][4] = 2; G->arc[3][6] = 3; G->arc[4][5] = 3; G->arc[4][6] = 6; G->arc[4][7] = 9; G->arc[5][7] = 5; G->arc[6][7] = 2; G->arc[6][8] = 7; G->arc[7][8] = 4; for(i = 0; i < G->numVertexes; i++) { for(j = i; j < G->numVertexes; j++) { G->arc[j][i] = G->arc[i][j]; } } } /* Floyd算法，求网图G中各顶点v到其余顶点w的最短路径P[v][w]及带权长度D[v][w]。 */ void ShortestPath_Floyd(MGraph MG, Patharc P, ShortPathTable D) { int v, w, k; for (v = 0; v < MG.numVertexes; v++)/* 初始化D与P */ { for (w = 0; w < MG.numVertexes; w++) { D[v][w] = MG.arc[v][w];/* D[v][w]值即为对应点间的权值 */ P[v][w] = w;/* 初始化P */ } } for (k = 0; k < MG.numVertexes; k++) { for (v = 0; v < MG.numVertexes; v++) { for (w = 0; w < MG.numVertexes; w++) { /* 如果经过下标为k顶点路径比原两点间路径更短 */ if (D[v][w] > D[v][k] + D[k][w]) { /* 将当前两点间权值设为更小的一个 */ D[v][w] = D[v][k] + D[k][w]; P[v][w] = P[v][k];/* 路径设置为经过下标为k的顶点 */ } } } } } int main(void) { int v, w, k; MGraph MG; Patharc P; ShortPathTable D; CreateMGraph(&MG); ShortestPath_Floyd(MG, P, D); cout << "各顶点间最短路径如下: " << endl; for (v = 0; v < MG.numVertexes; v++) { for (w = v + 1; w < MG.numVertexes; w++) { cout << "v" << v << "--" << "v" << w << " weight: " << D[v][w] << " Path: " << v << ' '; k = P[v][w]; while (k != w) { cout << "-> " << k << " "; k = P[k][w]; } cout << "-> " << w << endl; } cout << endl; } return 0; }
输出为：
程序中的算法代码非常简洁，即用了一个三层循环，k代表的是中转结点的下标，v代表起始结点，w代表结束终点。k = 0 ~ 8，表示针对每个顶点作为中转结点得到的计算结果，最终当k = 8时，两矩阵数据如图7-7-16所示。
从上图我们可以看到第v2行的数值与Dijkstra算法求得的D数组的数值完全一样，都是{4, 3, 0, 3, 1, 4, 6, 8, 12 }, 而且这里是所有顶点到所有顶点的最短路径权值和都可以计算得出。那么如何由P这个路径数组得出具体的最短路径呢？以v2到v8为例，P[2][8] = 4，说明要经过顶点v4, 将4替换2，P[4][8] = 3, 说明经过v3, .......， 最终推导出最短路径为：v2->v4->v3->v6->v7->v8。
Floyd算法使用了三层循环，故时间复杂度也为O(n^3)，与Dijkstra算法一致，不过Floyd算法代码简洁，虽简洁但也不一定好懂，还是需要多加揣摩才能领会。另外，虽然我们使用的例子都是无向图的，但它们对于有向图依然有效，只不过在创建图的时候，有向图的邻接矩阵不是对称的而已。
