试题 算法提高 天天向上(dfs、dp)

问题描述

　　A同学的学习成绩十分不稳定，于是老师对他说：“只要你连续4天成绩有进步，那我就奖励给你一朵小红花。”可是这对于A同学太困难了。于是，老师对他放宽了要求：“只要你有4天成绩是递增的，我就奖励你一朵小红花。”即只要对于第i、j、k、l四天，满足i<j<k<l并且对于成绩wi<wj<wk<wl，那么就可以得到一朵小红花的奖励。现让你求出，A同学可以得到多少朵小红花。

输入格式

　　第一行一个整数n，表示总共有n天。第二行n个数，表示每天的成绩wi。

输出格式

　　一个数，表示总共可以得到多少朵小红花。

样例输入

6
1 3 2 3 4 5

样例输出

6

数据规模和约定

　　对于40%的数据，n<=50；
　　对于100%的数据，n<=2000，0<=wi<=1e9。

思路

1.记忆化搜索

维护一个二维数组dp，pos代表当前位置，cnt代表是作为递增的第cnt天。dp[pos][cnt]存的是当前位置作为递增的第cnt天到cnt=4所能得到的方案数。

累加除倒数3个数的其余数作为递增序列的第一天的方案数即是答案。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int ll;
ll a[2005];
ll dp[2005][5];
ll n,p,t;
ll dfs(int pos,int cnt){
    if(cnt==4)return 1;///达到4个递增数字，返回1
    if(dp[pos][cnt]!=-1)return dp[pos][cnt];///记忆化
    ll c=0;///当前位置的递增天数到能满足递增4天的方案数，注意是局部变量
    for(int i=pos+1;i<n;i++){
        if(a[i]>a[pos]){
            c+=dfs(i,cnt+1);
        }
    }
     return dp[pos][cnt]=c;///记忆一波返回
}
int main(){
    cin>>n;
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<n-3;i++){
        ans+=dfs(i,1);///累加每个数作为递增序列的第一个的方案数，后3个除外
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

2.动态规划

这里的dp[i][k]这里代表从i天开始递增k个数的方案数。

默认递增1个数自己本身为1个，我们理解dp[i][k]等于 数值比a[i]大的且位置比i后的j, 且递增的个数为k-1的方案数累加得到。每次把所有j位置的所得到的不同的递增数的方案转移到i上。

从后往前递推，状态转移方程dp[i][j]= ∑dp[k][j-1] (k>i,a[k]>a[i])，转移过程中当方案数不存在时退出。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int ll;
ll a[2005];
ll dp[2005][5];
ll n,p,t;
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];
    for(int i=n-1;i>=0;i--){
        dp[i][1]=1;///第一个递增数为自己
        for(int j=i+1;j<n;j++){
            if(a[i]<a[j]){///如果后面的数比i大
                int k=2;///从使递增数为2开始
                while(k<=4){
                    if(dp[j][k-1]==0)break;
                    dp[i][k]+=dp[j][k-1];
                    k++;
                }
            }
        }
    }
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<n-3;i++){
        ans+=dp[i][4];
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}