Luogu P1082 同余方程（exgcd模版）

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求ax%b = 1，即ax - by = 1；

很明显这是一个exgcd的形式。

那么要做这道题，首先需要gcd和exgcd的算法作铺垫。

gcd（辗转相膜法）：

int gcd(int a,int b){
    if(b == 0){
        return a;
    }
    return gcd(b,a%b);
}

exgcd就是在求出gcd的基础上，求出ax+by = gcd(a,b)的一组x，y的解：

int exgcd(int a,int &x,int b,int &y){
    if(b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int g = exgcd(b,x,a%b,y);
    int tx = x;
    x = y;
    y = tx -a/b*y;
    return g;
}

这个算法的原理如下：

• 当b=0时，gcd(a,b) = a，ax+by 即 a*1 + 0*0 = gcd(a,b)；（因为b = 0，y的值其实不重要，这里就写成0）

• 因为gcd(a,b) =  ax+by，gcd(b,a%b) = ax'+ by'，

　　　每次递归时，gcd(a,b) = gcd(b,a%b)，所以ax+by = ax'+ by'，

　　　并且已知 a%b = a-(a/b)*b，那么可以得到

　　　　ax'+by'
      = bx + (a%b)y
　　　= bx + (a-a/b*b)y
　　　= bx + ay - (a/b)*by
　　　= ay + b(x-(a/b)*y)
　　
　　　　x'=y;   y'=(x-(a/b)*y）

有了这些铺垫，再来看这道题：

ax+by=1，即gcd(a,b) = 1，说明a,b一定是互质的，方程才能有解（虽然知道了这个也没什么用orz）。

现在已经求出了一组x，y的解，怎么保证x是最小正整数呢？

已知

　　　ax+by

　　= ax + by + k*ab - k*ab

　　= a(x+kb) + (y-ka)b

也就是说，当x改变b的整数倍时，原式的值可以保持不变；

那么最小正整数即为x%b；

但是要考虑x为负数的情况，就要先将x加上b，直到x为正数，再取模，可以得到

　　x = (x%b+b)%b;

 

完整代码如下

#include<cstdio>
using namespace std;
int a,b,x,y;
void exgcd(int a,int &x,int b,int &y){
    if(b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return;
    }
    exgcd(b,x,a%b,y);
    int k = x;
    x = y;
    y = k-a/b*y;
    return;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&a,&b);
    exgcd(a,x,b,y);
    x = (x%b+b)%b;
    printf("%d",x);
    return 0;
}