P3846 [TJOI2007] 可爱的质数/【模板】BSGS

gate

$BSGS(Baby\ Steps\ Giant\ Steps)$

对于 $a^x\equiv b\pmod{p}$ ，求$x_{min}$

由于模的剩余类会产生循环节，根据鸽巢原理，

$a^0, a^1, \ldots, a^{n-1}$模$p$（$p$为质数）意义下的剩余类与$a^n, a^{n+1}, \ldots, a^{2n-1}$的剩余类相同，

因此我们要的答案一定在$[0, n-1]$内。

把这$n$个数分块， 设$m=\lceil\sqrt{p}\rceil$（向上取整）。

设$x=i*m-y$，

$a^{i*m-y}\equiv b\pmod{p}$

$a^{i*m}\equiv b\times a^y\pmod{p}$$

检查 $a^y$是否在出现过，可以用$map$或哈希表记录。

首先求出$a^1,a^2, \ldots, a^m$，并记录$hash[b\times a^i]=i$

枚举每个块的端点$now = now \times a^m$

若找到了$hash[now]$，则答案即为$i*m-hash[now]$。

时间复杂度为$O(\sqrt p)$