欧拉函数

原文：2018-12-18

欧拉函数是小于\(n\)的整数中与\(n\)互质的数的个数，一般用\(\varphi(n)\)表示。
通式：

\[\varphi(n) = n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k}) \]

其中\(p_1, p_2……p_k\)为\(n\)的所有质因数，\(n\)是不为\(0\)的整数。

例如\(n=12=2*2*3\)，
\(12\)以内有\(1/2\)的数是\(2\)的倍数，那么有\(1-1/2\)的数不是\(2\)的倍数\((1,3,5,7,9,11)\)，
这\(6\)个数里又有\(1/3\)的数是\(3\)的倍数，
只剩下\((1 - 1/2 - 1/3)\)的数既不是2的倍数，也不是3的倍数\((1,5,7,11)\)。
这样剩下的\(12*(1 - 1/2 - 1/3)=4\)，即\(4\)个数与\(12\)互质，所以\(\varphi(12)=4\)。

证明：

• 如果\(n=1\)，则\(\varphi(1) = 1\)。
• 如果\(n\)是质数，则\(\varphi(n)=n-1\)。
  反之，若\(\varphi(n)=n-1\)，则\(n\)是质数。
• 如果\(n\)只有一个质因数\(p\)，即\(n = p^k(k\ge 1)\)，则\(\varphi(n)=p^k(1-\frac{1}{p})=p^k-p^{k-1}\) 。
  • \([1,n]\)中，\(p\)的倍数共有\(n/p\)个，共占了\(\frac{1}{p}\)，则减去这些数后，还剩下\(n*(1-\frac{1}{p})\)个。
    可以看出，\(n\)是质数相当于\(k=1\)时的特例。
• 欧拉函数是积性函数，即对于\(n=p_1*p_2*...*p_n\) \((p_i分别互质)\)，

\[\varphi(n) = \varphi(p_1) * \varphi(p_2) *...* \varphi(p_k) \]

\[= p_1(1-\frac{1}{p_1})*p_2(1-\frac{1}{p_2})*...*p_k(1-\frac{1}{p_k}) \]

\[= n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k}) \]

性质：

• 当\(n>2\)时，\(\varphi(n)\)是偶数。
• 若\(n\)为奇数，\(\varphi(2n)=\varphi(n)\)。
• \(n\)的因数（包括\(1\)和\(n\)）的欧拉函数之和等于\(n\)。
  即\(\sum_{d|n}\varphi(d) = n\)
• \((1,n)\)中，与\(n\)互质的数的总和为 \(\dfrac{\varphi(n)*n}{2}\)
  因为\(gcd(n,i)=gcd(n,n-i)\)，即若\(i\)与\(n\)互质，则\(n-i\)也与\(n\)互质。
• 欧拉定理：对于任何两个互质的正整数\(a,n(n>2)\)，有：\(a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod n\)
• 费马小定理：在上式的基础上，当\(n\)是质数时（即\(\varphi(n) = n-1\)），有: \(a^{n-1}\equiv 1\pmod n\)
• 扩展欧拉定理

求欧拉函数：

埃拉托斯特尼筛 \((Eratosthenes)\)

求\([1,n]\)所有数的欧拉函数：每次找到一个质数，就把它的倍数更新掉。复杂度大概是\(O(nlogn)\)。

void euler(int n) {
    for (int i=1; i<=n; i++) phi[i]=i;
    for (int i=2; i<=n; i++)
        if (phi[i]==i)//i是质数
            for(int j=i; j<=n; j+=i)
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
}

线性筛

设\(p\)为素数，则有

• \(\varphi(p) = p-1\)
• 如果\(i\)与\(p\)互质, 那么 \(\varphi(i * p) = \varphi(i) * (p-1)\)
• 如果\(i\)与\(p\)不互质, 那么\(\varphi(i * p) = \varphi(i) * p\)

复杂度为\(O(n)\)。

void get_phi(long long n) {
	p[1] = 1;
	for(long long i = 2; i <= n; i++) {
		if(!flag[i]) {
			prime[++cnt] = i;
			p[i] = i-1;
		}
		for(long long j = 1; j <= cnt && i*prime[j] <= n; j++) {
			flag[i*prime[j]] = true;
			if(i%prime[j])
				p[i*prime[j]] = p[i]*(prime[j]-1);
			else {
				p[i*prime[j]] = p[i]*prime[j];
				break;
			}
		}
	}
}

通项公式

求\(n\)的欧拉函数：每次找到一个最小的因数（一定为质因数），求出\(n*(1-\frac{1}{p})\)。复杂度为\(O(\sqrt n)\)。

int euler(int n) {
    int res=n,a=n;
    for(int i=2; i*i<=a; i++) {
        if(a%i==0) {
            res=res/i*(i-1);
            while(a%i==0) a/=i;
        }
    }
    if(a>1) res=res/a*(a-1); //有质数剩余 
    return res;
}

为了保证每个质因数只被使用一次，通过以上的while循环把\(n\)中的\(p_i\)除尽。