P5319 [BJOI2019]奥术神杖

gate

用时：正常的时间大概120min
这题spj...我能说我对着不存在的bug找了半天吗...我是傻逼(1/1)

因为要求神力值最大的字符串，不用求这个数值，
可以把每个值取\(\log\)，
把几何平均数转化为算数平均数。

\(\sqrt[n]{\prod a_i}=\frac{1}{n}\sum \log a_i\)

多模式串匹配\(\rightarrow AC\)自动机
求平均值\(\rightarrow 0/1\)分数规划

设当前二分到的答案为\(mid\)，
\(\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1} ^{n} \log a_i \ge mid\)
\(\sum \limits_{i=1} ^{n} \log a_i \ge n \times mid\)
\(\sum \limits_{i=1} ^{n} \log (a_i-mid) \ge 0\)

在\(AC\)自动机上\(DP\)。
设：
\(f[i][j]\)表示当前匹配到第\(i\)个字符，且第\(i\)个字符在\(trie\)树上的编号为\(j\)。
\(f[i][trie[j].son[x]] = max(f[i-1][j] + val[trie[j].son[x]])\)

其中，
\(x \in [0,9]\)，若\(x\)在原串上已确定则不用枚举\(x\)。
\(val[i] = \log (a_i- cnt_i \times mid)\)
每次转移时，记录这个状态是从哪个字符及\(trie\)树上的编号转移过来的。

注意，建立\(AC\)自动机时，每个节点都要继承\(fail\)的所有祖先的信息，即

trie[u].cnt += trie[trie[u].fail].cnt;
trie[u].sum += trie[trie[u].fail].sum;

最后判断是否\(max(f[n][x]) > 0\)，
如果是，则记录当前字符串。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<queue>
#define Mogeko qwq
using namespace std;

const int maxn = 1505;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-6;

int n,m,now,num;
double l,r,mid;
char t[maxn],s[maxn],T[maxn];
double val[maxn],f[maxn][maxn],w[maxn];
pair<int,int> pre[maxn][maxn];

struct Trie{
    int son[10],fail;
    double cnt,sum;
}trie[maxn];

void insert(char s[],int x){
    int len = strlen(s);
    int u = 0;
    for(int i = 0;i < len;i++){
        int v = s[i]-'0';
        if(!trie[u].son[v]) trie[u].son[v] = ++num;
        u = trie[u].son[v];
    }
    trie[u].cnt++;
    trie[u].sum += w[x];
}

void getf(){
    queue <int> q;
    for(int i = 0;i < 10;i++)
        if(trie[0].son[i]){
            trie[trie[0].son[i]].fail = 0;
            q.push(trie[0].son[i]);
        }
    while(!q.empty()){
        int u = q.front();
        q.pop();
        trie[u].cnt += trie[trie[u].fail].cnt;
        trie[u].sum += trie[trie[u].fail].sum;
        for(int i = 0;i < 10;i++){
            if(trie[u].son[i]){
                trie[trie[u].son[i]].fail = trie[trie[u].fail].son[i];
                q.push(trie[u].son[i]);
            }
            else
                trie[u].son[i] = trie[trie[u].fail].son[i];
        }    
    }
}

bool check(){
    memset(f,-INF,sizeof f);
    f[0][0] = 0;
    for(int i = 0;i <= num;i++)    
        val[i] = trie[i].sum - trie[i].cnt * mid;
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        for(int j = 0;j <= num;j++){
            if(f[i-1][j] == -INF) continue;
            if(t[i] == '.')
                for(int k = 0;k < 10;k++){
                    int v = trie[j].son[k];
                    if(f[i][v] < f[i-1][j] + val[v]){
                        f[i][v] = f[i-1][j] + val[v];
                        pre[i][v] = make_pair(k,j);
                    }
                }
            else{
                int k = t[i]-'0';
                int v = trie[j].son[k];
                if(f[i][v] < f[i-1][j] + val[v]){
                    f[i][v] = f[i-1][j] + val[v];
                    pre[i][v] = make_pair(k,j);
                }
            }
        }
    now = 0;
    for(int i = 0;i <= num;i++)
        if(f[n][i] > f[n][now]) now = i;
    return (f[n][now] > 0);
}

void update(){
    for(int i = n;i >= 1;i--){
        T[i] = pre[i][now].first;
        now = pre[i][now].second;
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    scanf("%s",t+1);
    for(int i = 1;i <= m;i++){
        scanf("%s%lf",s,&w[i]);
        w[i] = log(w[i]);
        insert(s,i);
    }
    getf();
    l = 0, r = log(INF);
    while(r-l > eps){
        mid = (l+r)*0.5;
        if(check()) {
            l = mid;
            update();
        }
        else r = mid;        
    }
    for(int i = 1; i <= n;i++)
        printf("%c",T[i]+'0');
    printf("\n");
    return 0;
}